1ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 2ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden Ing. Norma Barreno, Mg; Dra. Lourdes Zuñiga, Mg; Dr. Antonio Meneses, PhD. Dr. Wilson Román V., MSc. Primera edición electrónica. Noviembre del 2019 ISBN: 978-9942-765-51-2 Revisión científica: Miguel Alberto Vilañez Tobar Msc; Dra. Silvia Mariana Haro Rivera Msc. Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Tcrn. Humberto Aníbal Parra Cárdenas, Ph. D. Rector Publicación autorizada por: Comisión Editorial de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Tcrn. Oswaldo Mauricio González, Ph. D. Presidente Edición Lcdo. Xavier Chinga Diseño Pablo Zavala A. Derechos reservados. Se prohibe la reproducción de esta obra por cualquier medio impreso, reprográfico o electrónico. El contenido, uso de fotografías, gráficos, cuadros, tablas y referencias es de exclusiva responsabilidad del autor. Los derechos de esta edición electrónica son de la Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE, para consulta de profesores y estudiantes de la universidad e investigadores en: htpp//www.repositorio.espe.edu.ec. Universidad de las Fuerzas Armadas ESPE Av. General Rumiñahui s/n, Sangolquí, Ecuador. htpp//www.espe.edu.ec 3ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN UNA PERSPECTIVA DIDÁCTICA CON LA UTILIZACIÓN DE SOFTWARE LIBRE Ing. Norma Barreno, Mg. Dra. Lourdes Zuñiga, Mg. Dr. Antonio Meneses, PhD. Dr. Wilson Román V., MSc. 4ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Contenido Autores ................................................................................................................ 5 Prólogo ................................................................................................................ 7 Capítulo 1 Definiciones Básicas y terminología ............................................................... 8 Capítulo 2 Teoría preliminar ................................................................................................ 18 Capítulo 3 Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de primer orden .................. 93 Capítulo 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias con el Software Máxima .................... 144 Trabajos citados ................................................................................................. 163 Bibliografía ......................................................................................................... 164 Páginas web ........................................................................................................ 165 5ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Autores Barreno Layedra Norma del Pilar Docente Departamento de Ciencias Exactas de la ESPE extensión Latacunga • Magíster en Matemática Básica, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo • Diplomado en Docencia Matemática, Universidad San Francisco de Quito. • Diplomado Internacional en Competencias Docentes Tec de Monterrey – Cambridge, Tecnológico de Monterrey. • Ingeniero en Sistemas, Universidad Tecnológica Indoámerica. • Tecnóloga en Informática Aplicada, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. Meneses Freire Manuel Antonio Docente Universidad Nacional de Chimborazo • Doctorado en Estadística e Investigación Operativa, Universidad de Coruña – España. • Master Universitario en Técnicas Estadística, Universidad de Coruña – España. • Magister en Gestión Ambiental, Universidad Nacional de Chimborazo. • Diplomado Superior en Pedagogía Universitaria, Universidad Nacional de Chimborazo. • Doctor en Matemáticas, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. Román Vargas Wilson Marcelo Docente Departamento de Ciencias Exactas de la ESPE extensión Latacunga • Master en Informática Aplicada, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. • Magister En Matemática Aplicada Mención Modelación Matemática Y Simulación Numérica, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. • Diploma Superior en Gestión para El Aprendizaje Universitario, Escuela Politécnica del Ejército-Espe. • Diplomado en Estadística Informática Aplicada a la Educación, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. • Diplomado Internacional en Competencias Docentes Tec de Monterrey – Cambridge en el Tecnológico de Monterrey. • Doctor en Matemáticas, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. 6ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Zuñiga Lema Lourdes del Carmen Docente Escuela Superior Politécnica de Chimborazo • Magister en Ciencias de la Educación aprendizaje de la Matemática, Universidad Nacional de Chimborazo. • Diploma superior en investigacion educativa y planificacion curricular, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. • Doctor en matematica, Escuela Superior Politécnica de Chimborazo. 7ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Prólogo El texto de ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN, UNA PERSPECTIVA DIDÁCTICA CON LA UTILIZACIÓN DE SOFTWARE LIBRE aborda la problemática de la enseñanza y aprendizaje de las ecuaciones diferenciales en su etapa inicial, por lo que, se promueve la utilización de software matemático como una estrategia didáctica que permita vincular el desarrollo analítico con la exploración y experimentación de las soluciones de las ecuaciones diferenciales, la variación en las condiciones del problema permite visualizar y analizar diferentes escenarios de solución de una ecuación diferencial ordinaria, de esta forma el estudiante da consistencia a los resultados que obtiene logrando una visión global, integradora y holística que articula sus campos del conocimiento. Este libro presenta en cada una de las secciones multitud de ejercicios resueltos de ecuaciones diferenciales ordinarias así como también ejercicios planteados de tal manera que el estudiante esté en la capacidad de dominar todos los métodos y herramientas para resolver los problemas de forma clara y concisa. La obra contiene cuatro unidades didácticas formadas por: Unidad I, en la que se aborda los fundamentos teóricos sobre el estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. La Unidad II, se presentan los métodos clásicos de la solución. La Unidad III, presenta una variedad de ejercicios de aplicación en diferentes campos de la ingeniería y la Unidad IV, presenta una Guía didáctica sobre las principales funciones para resolver ecuaciones diferenciales con la utilización del software matemático. El ideal de los autores del presente libro, es compartir una nueva metodología para la solución gráfica y analítica de las ecuaciones diferenciales ordinarias de primer orden. Esta metodología consiste en la utilización del software libre “Maxima y Geogebra” y el software comercial “MATLAB”, que con la ayuda de estas herramientas informáticas se ve claramente que el estudiante ha podido mejorar su capacidad de reflexión, criticidad y creatividad de tal manera de alcanzar aprendizajes significativos en estos contenidos que tiene una variedad de aplicaciones en diferentes campos de la ingeniería. 8ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 1 Definiciones Básicas y terminología 9ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN UNIDAD I 1.1. DEFINICIONES BÁSICAS Y TERMINOLOGÍA En los cursos de Cálculo Diferencial se analizó las condiciones para que una función real y continua 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), tenga su correspondiente función derivada, la misma que es representada por 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓, 𝑥𝑥 (1.1) Por ejemplo: si 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒12 entonces 34 31 = 2𝑥𝑥𝑒𝑒1 2 o bien 34 31 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦 El problema que enfrentamos en este curso no es: dada una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), encontrar su derivada; más bien, el problema es: si se da una ecuación tal como 34 31 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦, encontrar de alguna manera una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥) que satisfaga la ecuación. En una palabra, se desea resolver ecuaciones diferenciales. 1.2. CLASIFICACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Las ecuaciones diferenciales se clasifican de acuerdo con las tres propiedades siguientes. 1.2.1. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL TIPO § Si una ecuación contiene sólo derivadas ordinarias de una o más variables dependientes con respecto a una sola variable independiente, entonces se dice que es una ecuación diferencial ordinaria. Por ejemplo: a) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 = 1 b) 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 c) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 Definición 1.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL Si una ecuación contiene las derivadas o diferenciales de una o más variables dependientes con respecto a una o más variables independientes, se dice que es una ecuación diferencial. (Zill Dennis, 2006) 10 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN d) 𝑑𝑑=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥= − 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 0 e) 𝑦𝑦´ + 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 5 Representan ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias. § Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo: a) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 b) 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 c) 𝜕𝜕=𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥= = 𝜕𝜕=𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡= − 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 d) 𝑑𝑑=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥= − 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 6𝑦𝑦 = 0 e) 𝑦𝑦´ + 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥´ = 0 Representan ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales. 1.2.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN La máxima derivada de la función incógnita se denomina orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo: Ecuación diferencial Tipo de ecuación Orden de la ecuación a) 𝑑𝑑B𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥B + 8 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0 Ordinaria Cuarto orden b) 𝑑𝑑=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥= − 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 0 Ordinaria Segundo orden c) 𝑑𝑑D𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥D − 5 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 B − 4𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 Ordinaria Tercer orden d) 𝑦𝑦´´´ + 𝑥𝑥(𝑦𝑦´´)B + 𝑦𝑦´ = 0 Ordinaria Tercer orden e) 𝜕𝜕D𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥D = 𝜕𝜕=𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡= − 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 Parcial Tercer orden 11 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN d) 𝑑𝑑=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥= − 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 0 e) 𝑦𝑦´ + 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 5 Representan ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias. § Una ecuación que contiene las derivadas parciales de una o más variables dependientes con respecto a dos o más variables independientes, se llama ecuación diferencial parcial. Por ejemplo: a) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 = − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 b) 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 0 c) 𝜕𝜕=𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥= = 𝜕𝜕=𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡= − 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 d) 𝑑𝑑=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥= − 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 6𝑦𝑦 = 0 e) 𝑦𝑦´ + 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥´ = 0 Representan ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales. 1.2.2. CLASIFICACIÓN SEGÚN EL ORDEN La máxima derivada de la función incógnita se denomina orden de la ecuación diferencial. Por ejemplo: Ecuación diferencial Tipo de ecuación Orden de la ecuación a) 𝑑𝑑B𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥B + 8 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 = 0 Ordinaria Cuarto orden b) 𝑑𝑑=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥= − 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 = 0 Ordinaria Segundo orden c) 𝑑𝑑D𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥D − 5 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 B − 4𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 Ordinaria Tercer orden d) 𝑦𝑦´´´ + 𝑥𝑥(𝑦𝑦´´)B + 𝑦𝑦´ = 0 Ordinaria Tercer orden e) 𝜕𝜕D𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥D = 𝜕𝜕=𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡= − 2 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 Parcial Tercer orden Aunque las ecuaciones diferenciales parciales son muy importantes, su estudio exige una buena base en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias. En consecuencia, en la discusión que sigue, así como en las próximas unidades de este módulo, limitaremos nuestra atención a ecuaciones diferenciales ordinarias. 1.2.3. CLASIFICACIÓN SEGÚN LA LINEALIDAD O NO LINEALIDAD Nota: • Si la ecuación (1.3) no cumple con las condiciones de linealidad descritas en la definición anterior, entonces representará una ecuación diferencial ordinaria no lineal. Definición 1.2.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA Una ecuación diferencial ordinaria de orden n está dada mediante la ecuación 𝐹𝐹 F𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 , … , 𝑑𝑑I𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥I J = 0 (1.2) Donde: § 𝑥𝑥 representa la variable independiente de la ecuación diferencial, § 𝑦𝑦 representa la función incógnita de la ecuación diferencial, § 34 31 , 324 312 … , 3K4 31K representan las 𝑛𝑛-primeras derivadas de la función incógnita. (Edwards, 2009) Definición 1.2.3. ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA LINEAL (EDO) Una ecuación diferencial ordinaria de orden n de la forma 𝑎𝑎I(𝑥𝑥) 𝑑𝑑I𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥I + 𝑎𝑎INO(𝑥𝑥) 𝑑𝑑INO𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥INO +⋯+ 𝑎𝑎O(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑎𝑎Q(𝑥𝑥)𝑦𝑦 = 𝑔𝑔(𝑥𝑥) (1.3) Se dice que es una ecuación diferencial ordinaria lineal, si cumple: § Los coeficientes 𝑎𝑎T(𝑥𝑥) ∀ 𝑖𝑖 = 1,2,… 𝑛𝑛 son constantes o dependen únicamente de la variable independiente 𝑥𝑥. § La función incógnita 𝑦𝑦 junto con sus 𝑛𝑛-primeras derivadas son de grado uno. Donde 𝑔𝑔(𝑥𝑥) es una función continua, si 𝑔𝑔(𝑥𝑥) = 0, entonces la ecuación (1.3) se denomina ecuación diferencial ordinaria lineal homogénea, caso contrario no homogénea. Ejemplos 12 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ecuación diferencial Tipo de ecuación a) 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 EDO Lineal de primer orden b) 𝑥𝑥" − 2𝑥𝑥′ + 𝑥𝑥 = 0 EDO Lineal de segundo orden c) 𝑥𝑥D 𝑥𝑥D𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥D − 𝑥𝑥= 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = 𝑒𝑒1 EDO Lineal de tercer orden d) (𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥´´´ + 𝑥𝑥´ = 0 EDO Lineal de tercer orden e) 𝑥𝑥= 𝑥𝑥X𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥X − 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(𝑥𝑥) EDO Lineal de quinto orden A continuación explicamos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. 𝑥𝑥𝑥𝑥" − 2𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 y 3Z4 31Z + 𝑥𝑥= = 0 Por lo tanto, representan ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo y tercer orden, respectivamente. Ejercicios 1.1 Describa las siguientes ecuaciones diferenciales dadas, según su tipo, orden, grado y linealidad. 1. 𝑥𝑥 D𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥D = + 𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= D + 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 6. 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 = ln (𝑥𝑥) 2. 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑞𝑞(𝑥𝑥) 7. 𝑥𝑥𝑥𝑥= 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 2 3. 𝑥𝑥 =𝑄𝑄 𝑥𝑥𝑑𝑑= + 𝑅𝑅 𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥𝑑𝑑 + 𝑄𝑄 𝐶𝐶 = 0 8. 𝑥𝑥= 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 4. 𝜕𝜕 =𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥= + 2 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 9. 𝑥𝑥D 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 𝑥𝑥𝑥𝑥D = 0 5. 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥= 10. 2𝑥𝑥´ + 𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 El coeficiente depende de 𝑥𝑥 El exponente no es 1 13 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ecuación diferencial Tipo de ecuación a) 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 EDO Lineal de primer orden b) 𝑥𝑥" − 2𝑥𝑥′ + 𝑥𝑥 = 0 EDO Lineal de segundo orden c) 𝑥𝑥D 𝑥𝑥D𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥D − 𝑥𝑥= 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 5𝑥𝑥 = 𝑒𝑒1 EDO Lineal de tercer orden d) (𝑥𝑥 − 1)𝑥𝑥´´´ + 𝑥𝑥´ = 0 EDO Lineal de tercer orden e) 𝑥𝑥= 𝑥𝑥X𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥X − 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 3𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(𝑥𝑥) EDO Lineal de quinto orden A continuación explicamos ejemplos de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales. 𝑥𝑥𝑥𝑥" − 2𝑥𝑥′ = 𝑥𝑥 y 3Z4 31Z + 𝑥𝑥= = 0 Por lo tanto, representan ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales de segundo y tercer orden, respectivamente. Ejercicios 1.1 Describa las siguientes ecuaciones diferenciales dadas, según su tipo, orden, grado y linealidad. 1. 𝑥𝑥 D𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥D = + 𝑥𝑥 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= D + 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 6. 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥 = ln (𝑥𝑥) 2. 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑞𝑞(𝑥𝑥) 7. 𝑥𝑥𝑥𝑥= 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 = 2 3. 𝑥𝑥 =𝑄𝑄 𝑥𝑥𝑑𝑑= + 𝑅𝑅 𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥𝑑𝑑 + 𝑄𝑄 𝐶𝐶 = 0 8. 𝑥𝑥= 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 0 4. 𝜕𝜕 =𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥= + 2 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 9. 𝑥𝑥D 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥=𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥= + 𝑥𝑥𝑥𝑥D = 0 5. 1 𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥= 10. 2𝑥𝑥´ + 𝑥𝑥 − 1 = 𝑥𝑥 El coeficiente depende de 𝑥𝑥 El exponente no es 1 1.3. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA La solución de una ecuación diferencial también se denomina como el arco integral de la ecuación diferencial, en el presente texto se analiza e identifica la forma de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, y se procede aplicar el método adecuado que conlleve a su solución. Ejemplo 1 La función 𝑦𝑦 = 1 b Oc es una solución de la ecuación no lineal 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑𝑦𝑦 O = = 0 en −∞ < 𝑑𝑑 < ∞. Puesto que 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4 𝑑𝑑D 16 = 𝑑𝑑D 4 vemos que 34 31 − 𝑑𝑑𝑦𝑦 O = = 1Z B − 𝑑𝑑 1b Oc O = = 1Z B − 1Z B = 0 para todo número real. Ejemplo 2 La función 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑒𝑒1 es una solución de la ecuación no lineal 𝑦𝑦" − 2𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 = 0 en −∞ < 𝑑𝑑 < ∞. Para comprender esto se evalúan 𝑦𝑦, = 𝑑𝑑𝑒𝑒1 + 𝑒𝑒1 y 𝑦𝑦" = 𝑑𝑑𝑒𝑒1 + 2𝑒𝑒1 Obsérvese que 𝑦𝑦" − 2𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 = (𝑑𝑑𝑒𝑒1 + 2𝑒𝑒1) − 2(𝑑𝑑𝑒𝑒1 + 𝑒𝑒1) + 𝑑𝑑𝑒𝑒1 = 0 para todo número real. Definición 1.3. SOLUCIÓN DE ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA Se dice que una función 𝑓𝑓 cualquiera, definida en algún intervalo 𝐼𝐼 ⊂ ℝ, es solución de una ecuación diferencial en el intervalo, si sustituida en dicha ecuación la reduce a una identidad. En otras palabras, una solución de una ecuación diferencial (1.2) es una función 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) que tiene por lo menos 𝑛𝑛 derivadas y satisface la ecuación. Es decir, 𝐹𝐹 i𝑑𝑑, 𝑓𝑓(𝑑𝑑), 𝑓𝑓,(𝑑𝑑), … , 𝑓𝑓(I)(𝑑𝑑)j = 0 Para todo 𝑑𝑑𝜖𝜖𝐼𝐼 ⊂ ℝ . 14 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Nótese también que en los Ejemplos 1 y 2, la función constante 𝑦𝑦 = 0, en la recta real −∞ < 𝑥𝑥 < ∞, también satisface la ecuación diferencial dada. A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un intervalo 𝐼𝐼, se le denomina a menudo solución trivial. No toda ecuación diferencial tiene necesariamente una solución, como vemos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3 (a) Las ecuaciones diferenciales de primer orden 34 31 = + 1 = 0 y (𝑦𝑦,)= + 𝑦𝑦= + 4 = 0 No tiene soluciones reales. ¿Por qué? (b) La ecuación de segundo orden (𝑦𝑦")= + 10𝑦𝑦B = 0 tiene solamente una solución real ¿Cuál es? Soluciones explícitas e implícitas La solución de una ecuación diferencial también puede ser diferenciada entre soluciones explícitas o implícitas. Ya vimos en nuestra discusión inicial que 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒12 es una solución explícita de 34 31 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦; así como las funciones, 𝑦𝑦 = 1 b Oc y 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 son soluciones explícitas de 34 31 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 O = = 0 y 𝑦𝑦" − 2𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 = 0 respectivamente. Se dice que una relación 𝐺𝐺 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 define implícitamente una ecuación diferencial en un intervalo 𝐼𝐼, si define una o más soluciones explícitas en 𝐼𝐼. Ejemplo 4 Para −2 < 𝑥𝑥 < 2 la relación 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= − 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Derivando implícitamente se obtiene 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥= + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦= − 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 4 = 0 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 34 31 = 0 o bien 34 31 = − 1 4 15 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Nótese también que en los Ejemplos 1 y 2, la función constante 𝑦𝑦 = 0, en la recta real −∞ < 𝑥𝑥 < ∞, también satisface la ecuación diferencial dada. A una solución de una ecuación diferencial que es idéntica a cero en un intervalo 𝐼𝐼, se le denomina a menudo solución trivial. No toda ecuación diferencial tiene necesariamente una solución, como vemos en el ejemplo siguiente. Ejemplo 3 (a) Las ecuaciones diferenciales de primer orden 34 31 = + 1 = 0 y (𝑦𝑦,)= + 𝑦𝑦= + 4 = 0 No tiene soluciones reales. ¿Por qué? (b) La ecuación de segundo orden (𝑦𝑦")= + 10𝑦𝑦B = 0 tiene solamente una solución real ¿Cuál es? Soluciones explícitas e implícitas La solución de una ecuación diferencial también puede ser diferenciada entre soluciones explícitas o implícitas. Ya vimos en nuestra discusión inicial que 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒12 es una solución explícita de 34 31 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦; así como las funciones, 𝑦𝑦 = 1 b Oc y 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 son soluciones explícitas de 34 31 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 O = = 0 y 𝑦𝑦" − 2𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 = 0 respectivamente. Se dice que una relación 𝐺𝐺 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 define implícitamente una ecuación diferencial en un intervalo 𝐼𝐼, si define una o más soluciones explícitas en 𝐼𝐼. Ejemplo 4 Para −2 < 𝑥𝑥 < 2 la relación 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= − 4 = 0 es una solución implícita de la ecuación diferencial 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Derivando implícitamente se obtiene 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥= + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦= − 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 4 = 0 2𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 34 31 = 0 o bien 34 31 = − 1 4 c = 0 c > 0 c < 0 y x Figura 1. Familia de curvas, solución de la EDO Fuente: Autores La relación 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= − 4 = 0 del ejemplo anterior define dos funciones en el intervalo −2 < 𝑥𝑥 < 2; dadas por 𝑦𝑦 = 4 − 𝑥𝑥= y 𝑦𝑦 = − 4 − 𝑥𝑥=. También obsérvese que cualquier relación de la forma 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= − 𝑐𝑐 = 0 satisface formalmente 34 31 = − 1 4 para cualquier constante 𝑐𝑐. Sin embargo, naturalmente se sobreentiende que la relación debe siempre tener sentido en el sistema de los números reales; por lo tanto, no podemos decir que la expresión 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= + 1 = 0 determina una solución de la ecuación diferencial. Dado que la diferencia entre solución explícita e implícita debería ser intuitivamente clara, no insistiremos en repetir la expresión “aquí se tiene una solución explícita (implícita)” El estudiante debe saber que una ecuación diferencial dada tiene generalmente una familia de curvas que representa su solución. Por sustitución directa, podemos demostrar que cualquier curva, esto es, función, de la familia uniparamétrica 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑒𝑒12 , donde 𝑐𝑐 es cualquier constante arbitraria, también satisface la ecuación (1). Tal como se indica en la figura 1, la solución trivial es un miembro de esta familia de soluciones correspondiente a 𝑐𝑐 = 0. Ejemplo 5 Para cualquier valor de 𝑐𝑐, la función 𝑦𝑦 = n 1 + 1 es una solución de la ecuación diferencial de primer orden. Se observa en la figura 2. 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 1 16 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En el intervalo 0 < 𝑥𝑥 < ∞. Se tiene que 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥NO + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = −𝑐𝑐𝑥𝑥N= = − 𝑐𝑐 𝑥𝑥= de modo que 𝑥𝑥 34 31 + 𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 − n 12 + n 1 + 1 = 1 Dando a 𝑐𝑐 distintos valores reales es posible generar un número infinito de soluciones. En particular, para 𝑐𝑐 = 0 se obtiene una solución constante 𝑑𝑑 = 1. c > 0 c < 0 c = 0 y x Figura 2. Curvas uni-paramétricas de la EDO Fuente: Autores En el ejemplo anterior, 𝑑𝑑 = n 1 + 1 es una solución de la ecuación diferencial en cualquier intervalo que no contenga el origen. La función no es diferenciable en 𝑥𝑥 = 0. Ejemplo 6 (a) Las funciones 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 y 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 , en donde 𝑐𝑐O y 𝑐𝑐= son constantes arbitrarias, resultan ser soluciones de la ecuación diferencial 𝑑𝑑" + 16𝑑𝑑 = 0 Para 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 , las derivadas primera y segunda son 𝑑𝑑, = −4𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 y 𝑑𝑑" = −16𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 y por lo tanto 𝑑𝑑" + 16𝑑𝑑 = −16𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 + 16(𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (4𝑥𝑥)) = 0 Análogamente, para 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (4𝑥𝑥) 𝑑𝑑" + 16𝑑𝑑 = −16𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 + 16(𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (4𝑥𝑥)) = 0 (b) También puede demostrarse que la figura 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 + 𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 es una solución de la ecuación dada. 17 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En el intervalo 0 < 𝑥𝑥 < ∞. Se tiene que 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥NO + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = −𝑐𝑐𝑥𝑥N= = − 𝑐𝑐 𝑥𝑥= de modo que 𝑥𝑥 34 31 + 𝑑𝑑 = 𝑥𝑥 − n 12 + n 1 + 1 = 1 Dando a 𝑐𝑐 distintos valores reales es posible generar un número infinito de soluciones. En particular, para 𝑐𝑐 = 0 se obtiene una solución constante 𝑑𝑑 = 1. c > 0 c < 0 c = 0 y x Figura 2. Curvas uni-paramétricas de la EDO Fuente: Autores En el ejemplo anterior, 𝑑𝑑 = n 1 + 1 es una solución de la ecuación diferencial en cualquier intervalo que no contenga el origen. La función no es diferenciable en 𝑥𝑥 = 0. Ejemplo 6 (a) Las funciones 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 y 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 , en donde 𝑐𝑐O y 𝑐𝑐= son constantes arbitrarias, resultan ser soluciones de la ecuación diferencial 𝑑𝑑" + 16𝑑𝑑 = 0 Para 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 , las derivadas primera y segunda son 𝑑𝑑, = −4𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 y 𝑑𝑑" = −16𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 y por lo tanto 𝑑𝑑" + 16𝑑𝑑 = −16𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 + 16(𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 (4𝑥𝑥)) = 0 Análogamente, para 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (4𝑥𝑥) 𝑑𝑑" + 16𝑑𝑑 = −16𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 + 16(𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 (4𝑥𝑥)) = 0 (b) También puede demostrarse que la figura 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 4𝑥𝑥 + 𝑐𝑐= 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 4𝑥𝑥 es una solución de la ecuación dada. Ejercicios 1.2 En los problemas 1 -10, diga si las ecuaciones diferenciales dadas son lineales o no lineales. Indique el orden de cada ecuación. 1. (1 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦" − 4𝑥𝑥𝑦𝑦′ + 5𝑦𝑦 = cos (𝑥𝑥) 6. 3 24 312 + 9𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 (𝑦𝑦) 2. 𝑥𝑥 3 Z4 31Z − 2 34 31 B + 𝑦𝑦 = 0 7. 34 31 = 1 + 324 312 = 3. 𝑦𝑦𝑦𝑦, + 2𝑦𝑦 = 1 + 𝑥𝑥= 8. 3 2t 3u2 = − v t2 4. 𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑠𝑠1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 9. 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑦𝑦,,, − cos 𝑥𝑥 𝑦𝑦, = 2 5. 𝑥𝑥D𝑦𝑦(B) − 𝑥𝑥=𝑦𝑦" + 4𝑥𝑥𝑦𝑦′ − 3𝑦𝑦 = 0 10. 1 − 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 En los problemas del 11 – 20, verifique que la función indicada es una solución de la ecuación diferencial dada. Donde sea apropiado, 𝑐𝑐O y 𝑐𝑐= son constantes. 11. 𝑦𝑦, + 4𝑦𝑦 = 32; y = 8 16. 34 31 = 4 1 ; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐O = , 𝑥𝑥 > 0 12. 2𝑦𝑦, + 𝑦𝑦 = 0; 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠N1 = 17. 𝑦𝑦, + 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 ; 𝑦𝑦 = O = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − O = cos 𝑥𝑥 + 10𝑠𝑠N1 13.34 31 − 2𝑦𝑦 = 𝑠𝑠D1; 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠D1 + 10𝑠𝑠=1 18. 2𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥= + 2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0; 𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= = 𝑐𝑐O 14. 34 3u + 20𝑦𝑦 = 24; 𝑦𝑦 = c X − c X 𝑠𝑠N=Qu 19. 𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0; 𝑦𝑦 = − O 12 15. 𝑦𝑦, = 25 + 𝑦𝑦=; 𝑦𝑦 = 5 tan (5𝑥𝑥) 20. (𝑦𝑦′)D + 𝑥𝑥𝑦𝑦, = 𝑦𝑦; 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 1 18 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 2 Teoría preliminar UNIDAD II 2.1.TEORÍA PRELIMINAR Problema del valor inicial A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden 34 31 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) (2.1) Sujeta a la condición adicional 𝑦𝑦 𝑥𝑥Q = 𝑦𝑦Q, donde 𝑥𝑥Q es un número en un intervalo 𝐼𝐼 y 𝑦𝑦Q es un número real arbitrario. El problema Resuelva: 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒇𝒇(𝒅𝒅, 𝒅𝒅) (2.2) Sujeta a: 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝟎𝟎 = 𝒅𝒅𝟎𝟎 se llama problema de valor inicial. A la condición adicional se la conoce como condición inicial. Ejemplo 7 Hemos visto que 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑒𝑒1 es una familia uniparamétrica de soluciones de 𝑦𝑦, = 𝑦𝑦 en el intervalo −∞ < 𝑥𝑥 < ∞. Si por ejemplo especificamos que 𝑦𝑦 0 = 3, entonces, sustituyendo 𝑥𝑥 = 0 e 𝑦𝑦 = 3 en la solución general de la ecuación diferencial resulta 3 = 𝑐𝑐𝑒𝑒Q = 𝑐𝑐. Por consiguiente, como se muestra en la Figura 3, 𝑦𝑦 = 3𝑒𝑒1 es una solución del problema de valor inicial 𝑦𝑦, = 𝑦𝑦 𝑦𝑦 0 = 3 Si se hubiese pedido que una solución de 𝑦𝑦, = 𝑦𝑦 pase por el punto 𝑃𝑃= 1, 3 en lugar de 𝑃𝑃O 0, 3 , se tendría 𝑦𝑦 1 = 3 donde 𝑐𝑐 = 3𝑒𝑒NO y por lo tanto 𝑦𝑦 = 3𝑒𝑒1NO. La gráfica de esta función se visualiza a continuación en la Figura 3 19 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN UNIDAD II 2.1.TEORÍA PRELIMINAR Problema del valor inicial A menudo nos interesa resolver una ecuación diferencial de primer orden 34 31 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) (2.1) Sujeta a la condición adicional 𝑦𝑦 𝑥𝑥Q = 𝑦𝑦Q, donde 𝑥𝑥Q es un número en un intervalo 𝐼𝐼 y 𝑦𝑦Q es un número real arbitrario. El problema Resuelva: 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒇𝒇(𝒅𝒅, 𝒅𝒅) (2.2) Sujeta a: 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝟎𝟎 = 𝒅𝒅𝟎𝟎 se llama problema de valor inicial. A la condición adicional se la conoce como condición inicial. Ejemplo 7 Hemos visto que 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑒𝑒1 es una familia uniparamétrica de soluciones de 𝑦𝑦, = 𝑦𝑦 en el intervalo −∞ < 𝑥𝑥 < ∞. Si por ejemplo especificamos que 𝑦𝑦 0 = 3, entonces, sustituyendo 𝑥𝑥 = 0 e 𝑦𝑦 = 3 en la solución general de la ecuación diferencial resulta 3 = 𝑐𝑐𝑒𝑒Q = 𝑐𝑐. Por consiguiente, como se muestra en la Figura 3, 𝑦𝑦 = 3𝑒𝑒1 es una solución del problema de valor inicial 𝑦𝑦, = 𝑦𝑦 𝑦𝑦 0 = 3 Si se hubiese pedido que una solución de 𝑦𝑦, = 𝑦𝑦 pase por el punto 𝑃𝑃= 1, 3 en lugar de 𝑃𝑃O 0, 3 , se tendría 𝑦𝑦 1 = 3 donde 𝑐𝑐 = 3𝑒𝑒NO y por lo tanto 𝑦𝑦 = 3𝑒𝑒1NO. La gráfica de esta función se visualiza a continuación en la Figura 3 20 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN c > 0 c < 0 y x xey 3= 13 −= xey(1, 3) Figura 3. Familia de curvas de una ecuación diferencial Fuente: Autores Al considerar un problema de valor inicial expresada mediante la ecuación (2.2), surgen dos preguntas fundamentales: 1. ¿Existe una solución del problema?, y si ésta existe 2. ¿Es la única solución? Geométricamente, la segunda pregunta es: De todas las soluciones de una ecuación diferencial (2.1) que existen en un intervalo 𝐼𝐼, ¿hay alguna cuya gráfica pase por 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ?. Véase la Figura 4. y x ( )00,yx Curvas solucion I Figura 4. Condición inicial del problema Fuente: Autores El próximo ejemplo muestra que la respuesta a la segunda pregunta a veces es negativa. 21 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN c > 0 c < 0 y x xey 3= 13 −= xey(1, 3) Figura 3. Familia de curvas de una ecuación diferencial Fuente: Autores Al considerar un problema de valor inicial expresada mediante la ecuación (2.2), surgen dos preguntas fundamentales: 1. ¿Existe una solución del problema?, y si ésta existe 2. ¿Es la única solución? Geométricamente, la segunda pregunta es: De todas las soluciones de una ecuación diferencial (2.1) que existen en un intervalo 𝐼𝐼, ¿hay alguna cuya gráfica pase por 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ?. Véase la Figura 4. y x ( )00,yx Curvas solucion I Figura 4. Condición inicial del problema Fuente: Autores El próximo ejemplo muestra que la respuesta a la segunda pregunta a veces es negativa. Ejemplo 8 La Figura 5 muestra que el problema de valor inicial 34 31 − 𝑥𝑥𝑦𝑦O/= = 0 tiene al menos dos soluciones en el intervalo −∞ < 𝑥𝑥 < ∞. Las funciones 𝑦𝑦 = 0 e 𝑦𝑦 = 1 b Oc satisfacen la ecuación diferencial y tienen gráficas que pasan por 𝑃𝑃 0, 0 . y = 0 y x(0, 0) 16 4xy Figura 5. Análisis de la solución de una ecuación diferencial Fuente. Autores 2.2. CAMPOS DIRECCIONALES El estudio de las ecuaciones diferenciales se fundamenta en el análisis sobre la existencia y unicidad de sus soluciones, pero éste aspecto está directamente relacionado con el hecho de poder analizar el comportamiento de la solución alrededor de un punto o cuando la variable independiente tiende al infinito. Para poder explicar éste hecho recurriremos a un repaso de la derivada de una función real 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙 . Recordemos que si 𝑓𝑓(𝑥𝑥) es una función continua y derivable en algún 𝐼𝐼 ⊂ ℝ, entonces su función derivada también es una función continua en 𝐼𝐼 ⊂ ℝ; es decir, no tiene cortes y se puede determinar rectas tangentes en cada punto 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ), formalicemos esta explicación en la siguiente definición. Nota al estudiante: Al resolver una ecuación diferencial, a menudo se tendrá que utilizar, por ejemplo, integración por partes, fracciones parciales, o posiblemente sustitución. Valdrá la pena dedicar unos minutos a repasar algunas técnicas de integración. 22 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Entones si podemos determinar rectas tangentes a una curva en cada punto de ella, y sí en estas rectas tangentes consideramos un módulo o segmento pequeño de ellas, entonces el conjunto de todos estos segmentos describirán el campo direccional de la ecuación diferencial, formalizando tendremos. Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución. Ejemplo 9 Determinar el campo direccional para la ecuación diferencial sujeta a una condición dada. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 En la tabla 1, se determina el valor de las pendientes en diferentes puntos del plano cartesiano, con la finalidad de poder determinar el campo de direccional. Definición 2.2.1. FUNCIÓN PENDIENTE Si 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) = 𝟎𝟎 es una función real, continua y derivable en algún 𝐼𝐼 ⊂ ℝ, entonces su PENDIENTE está dado por 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) (2.3) A la ecuación (2.3) se le denomina FUNCIÓN PENDIENTE o FUNCIÓN RAZÓN, mediante la cual podemos determinar rectas tangentes a la curva 𝑓𝑓(𝑑𝑑, 𝑑𝑑), en cada punto 𝑃𝑃(𝑑𝑑, 𝑓𝑓(𝑑𝑑)). (Dennis, 2009) Definición 2.2.2 CAMPO DIRECCIONAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Si evaluamos sistemáticamente a la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) = 𝟎𝟎 en cada punto 𝑃𝑃(𝑑𝑑, 𝑓𝑓(𝑑𝑑)), entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial dada por 𝒅𝒅𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 23 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Entones si podemos determinar rectas tangentes a una curva en cada punto de ella, y sí en estas rectas tangentes consideramos un módulo o segmento pequeño de ellas, entonces el conjunto de todos estos segmentos describirán el campo direccional de la ecuación diferencial, formalizando tendremos. Visualmente, la dirección del campo indica el aspecto o forma de una familia de curvas solución de la ecuación diferencial dada y, en consecuencia, se pueden ver a simple vista aspectos cualitativos de la solución. Ejemplo 9 Determinar el campo direccional para la ecuación diferencial sujeta a una condición dada. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 En la tabla 1, se determina el valor de las pendientes en diferentes puntos del plano cartesiano, con la finalidad de poder determinar el campo de direccional. Definición 2.2.1. FUNCIÓN PENDIENTE Si 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) = 𝟎𝟎 es una función real, continua y derivable en algún 𝐼𝐼 ⊂ ℝ, entonces su PENDIENTE está dado por 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) (2.3) A la ecuación (2.3) se le denomina FUNCIÓN PENDIENTE o FUNCIÓN RAZÓN, mediante la cual podemos determinar rectas tangentes a la curva 𝑓𝑓(𝑑𝑑, 𝑑𝑑), en cada punto 𝑃𝑃(𝑑𝑑, 𝑓𝑓(𝑑𝑑)). (Dennis, 2009) Definición 2.2.2 CAMPO DIRECCIONAL DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL Si evaluamos sistemáticamente a la función 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) = 𝟎𝟎 en cada punto 𝑃𝑃(𝑑𝑑, 𝑓𝑓(𝑑𝑑)), entonces al conjunto de todos estos elementos lineales se le llama campo direccional o campo de pendientes de la ecuación diferencial dada por 𝒅𝒅𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) Tabla 1 Valor de la pendiente 𝒙𝒙 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 Interpretación 1 1 -1 En el punto 𝐴𝐴 1,1 la pendiente es negativa -1 1 1 En el punto 𝐵𝐵 −1,1 la pendiente es positiva -1 -1 -1 En el punto 𝐶𝐶 −1,−1 la pendiente es negativa 1 -1 1 En el punto 𝐷𝐷 1,−1 la pendiente es negativa Nota: Elaboración propia En la figura 6 tenemos la siguiente representación. Figura 6. Campo direccional de una ecuación diferencial Fuente: Autores Ejemplo 10 Determinar el campo direccional para la ecuación diferencial sujeta a una condición dada. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑= − 𝑑𝑑= 𝑑𝑑 −2 = 1 Se realiza la práctica utilizando un CAS como es el software Maxima. Para esto procedemos a activar el módulo de gráficas en Maxima de la siguiente manera Luego definimos el lado derecho de la ecuación diferencial; es decir 24 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En la figura 7 verificamos el resultado, en la cual se especifica la curva que pasa por el punto 𝑃𝑃 −2,1 . Figura 7. Solución de una ecuación diferencial y su campo direccional Fuente: Autores 2.3. MÉTODOS CLÁSICOS DE SOLUCIÓN DE UNA EDO 2.3.1. VARIABLES SEPARABLES Se puede mencionar que el método de separación de variables constituye el método analítico más elemental dentro de la solución de una ecuación diferencial, pero algunos de los métodos que estudiaremos posteriormente tendrán como objetivo conseguir la separación de variables. Definición 2.3.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL A VARIABLE SEPARABLE Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es a Variable Separable si la podemos expresar de la siguiente forma: 𝑀𝑀(𝑥𝑥) + 𝑁𝑁(𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (2.4) Donde: 𝑀𝑀(𝑥𝑥) y 𝑁𝑁(𝑦𝑦) dependen únicamente de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 respectivamente, siendo funciones continuas en algún 𝐼𝐼 ⊂ 𝑅𝑅. 25 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En la figura 7 verificamos el resultado, en la cual se especifica la curva que pasa por el punto 𝑃𝑃 −2,1 . Figura 7. Solución de una ecuación diferencial y su campo direccional Fuente: Autores 2.3. MÉTODOS CLÁSICOS DE SOLUCIÓN DE UNA EDO 2.3.1. VARIABLES SEPARABLES Se puede mencionar que el método de separación de variables constituye el método analítico más elemental dentro de la solución de una ecuación diferencial, pero algunos de los métodos que estudiaremos posteriormente tendrán como objetivo conseguir la separación de variables. Definición 2.3.1 ECUACIÓN DIFERENCIAL A VARIABLE SEPARABLE Una ecuación diferencial ordinaria de primer orden se dice que es a Variable Separable si la podemos expresar de la siguiente forma: 𝑀𝑀(𝑥𝑥) + 𝑁𝑁(𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (2.4) Donde: 𝑀𝑀(𝑥𝑥) y 𝑁𝑁(𝑦𝑦) dependen únicamente de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 respectivamente, siendo funciones continuas en algún 𝐼𝐼 ⊂ 𝑅𝑅. La integración de una ecuación diferencial a variable separable está dada por la expresión 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝐶𝐶 (2.5) Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Ejemplo 11 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟏𝟏 − 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 Desarrollo: De acuerdo a las ecuaciones (2.4) y (2.5) se tiene 𝑦𝑦=𝑑𝑑𝑦𝑦 = (1 − 𝑥𝑥=)𝑑𝑑𝑥𝑥 Separación de variables 𝑦𝑦=𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑥𝑥 Integración 𝑦𝑦D = −𝑥𝑥D + 3𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 Solución general Ejemplo 12 𝟏𝟏 + 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 Desarrollo: 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 Separación de variables 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 Aplicando las técnicas de integración ln 𝑦𝑦 = ln 1 + 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 Solución general 𝑦𝑦 = (1 + 𝑥𝑥)𝑘𝑘 Donde 𝑘𝑘 = 𝑒𝑒à Ejemplo 13 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟒𝟒 = 𝟑𝟑 EJERCICIOS RESUELTOS 26 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 Separación de variables 𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑥𝑥 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 Solución general 4= + 3= = 𝐶𝐶 ⟹ 𝐶𝐶 = 25 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 5= Aplicando condiciones del problema Solución particular El problema de valores iníciales determina que de la familia de curvas 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 la curva dada por 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 25 es la única circunferencia que pasa por el punto 𝑃𝑃 4, 3 . Véase la Figura 8. c = 5 y x 5 5 (4, 3) Figura 8. Curvas solución de una ecuación diferencial Fuente: Autores Ejemplo 14 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 − 𝒅𝒅 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 Desarrollo: 𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (2 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦𝑥𝑥 Separación de variables 𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (2 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦𝑥𝑥 Aplicando las técnicas de integración 1 2 𝑦𝑦= + 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥= + 𝐶𝐶 Solución general 1 2 (0)= + 0 = 2(3) − 1 2 (3)= + 𝐶𝐶 Aplicando problema de valor inicial 27 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: 𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦𝑦 = −𝑥𝑥𝑦𝑦𝑥𝑥 Separación de variables 𝑦𝑦 𝑦𝑦𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 𝑦𝑦𝑥𝑥 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 Solución general 4= + 3= = 𝐶𝐶 ⟹ 𝐶𝐶 = 25 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 5= Aplicando condiciones del problema Solución particular El problema de valores iníciales determina que de la familia de curvas 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 la curva dada por 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 25 es la única circunferencia que pasa por el punto 𝑃𝑃 4, 3 . Véase la Figura 8. c = 5 y x 5 5 (4, 3) Figura 8. Curvas solución de una ecuación diferencial Fuente: Autores Ejemplo 14 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐 − 𝒅𝒅 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 Desarrollo: 𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (2 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦𝑥𝑥 Separación de variables 𝑦𝑦 + 1 𝑦𝑦𝑦𝑦 = (2 − 𝑥𝑥)𝑦𝑦𝑥𝑥 Aplicando las técnicas de integración 1 2 𝑦𝑦= + 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥= + 𝐶𝐶 Solución general 1 2 (0)= + 0 = 2(3) − 1 2 (3)= + 𝐶𝐶 Aplicando problema de valor inicial 𝐶𝐶 = − 3 2 1 2 𝑦𝑦= + 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥= + 3 2 Solución particular dada en forma implícita Ejemplo 15 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝐬𝟐𝟐(𝒅𝒅) 𝟏𝟏 − 𝒅𝒅𝟐𝟐 Desarrollo: 𝑑𝑑𝑦𝑦 sec=( 𝑦𝑦) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥= Separación de variables 𝑑𝑑𝑦𝑦 sec=(𝑦𝑦) = 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 − 𝑥𝑥= Aplicando las técnicas de integración 1 2 𝑦𝑦 + 1 4 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 2𝑦𝑦 = 1 2 𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 1 𝑥𝑥 − 1 + 𝐶𝐶 Solución general en forma implícita Ejemplo 16 𝒅𝒅𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙𝒙 𝒅𝒅 𝒙𝒙N𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝒙𝒙𝒔𝒔𝒔𝒔𝒙𝒙𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝝅𝝅 = 𝟎𝟎 Desarrollo: 𝑦𝑦𝑠𝑠4𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 Separación de variables e integrando 𝑠𝑠4 𝑦𝑦 − 1 = −𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 𝑠𝑠Q 0 − 1 = −𝜋𝜋 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝜋𝜋 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜋𝜋 + 𝐶𝐶 𝐶𝐶 = 𝜋𝜋 − 1 Solución general Aplicando las condiciones del problema 𝑠𝑠4 𝑦𝑦 − 1 = −𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 𝜋𝜋 − 1 Solución particular 28 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 2.3.2. REDUCCIÓN A VARIABLES SEPARABLES MÉTODO DE SOLUCIÓN Para resolver la ecuación diferencial (2.6) se realiza la siguiente sustitución 𝒛𝒛 = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 (𝟐𝟐. 𝟕𝟕) Derivamos con respecto a la variable independiente 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 Despejando 34 31 tenemos 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 reemplazando en la ec. (2.6) tenemos la forma de la ecuación diferencial 1 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 ( ∗ ) La ecuación ∗ representa una ecuación diferencial a variable separable. Presentamos algunos ejercicios que permitan una mejor comprensión de la solución de las ecuaciones diferenciales que se puedan reducir a una ecuación diferencial a variable separable. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Definición 2.3.2 Ecuación diferencial REDUCIBLE A VARIABLE SEPARABLE Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑐𝑐) (2.6) Se dice que es reducible a la forma de variable separable Donde: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 son constantes con 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 no nulos a la vez. EJERCICIOS RESUELTOS 29 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 2.3.2. REDUCCIÓN A VARIABLES SEPARABLES MÉTODO DE SOLUCIÓN Para resolver la ecuación diferencial (2.6) se realiza la siguiente sustitución 𝒛𝒛 = 𝒂𝒂𝒂𝒂 + 𝒃𝒃𝒃𝒃 + 𝒄𝒄 (𝟐𝟐. 𝟕𝟕) Derivamos con respecto a la variable independiente 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 Despejando 34 31 tenemos 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 reemplazando en la ec. (2.6) tenemos la forma de la ecuación diferencial 1 𝑏𝑏 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑎𝑎 𝑏𝑏 = 𝑓𝑓(𝑑𝑑) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑏𝑏 𝑓𝑓 𝑑𝑑 + 𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 ( ∗ ) La ecuación ∗ representa una ecuación diferencial a variable separable. Presentamos algunos ejercicios que permitan una mejor comprensión de la solución de las ecuaciones diferenciales que se puedan reducir a una ecuación diferencial a variable separable. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Definición 2.3.2 Ecuación diferencial REDUCIBLE A VARIABLE SEPARABLE Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑏𝑏𝑑𝑑 + 𝑐𝑐) (2.6) Se dice que es reducible a la forma de variable separable Donde: 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 son constantes con 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 no nulos a la vez. EJERCICIOS RESUELTOS Ejemplo 17 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = (𝟑𝟑𝒅𝒅 + 𝟐𝟐𝒅𝒅 − 𝟑𝟑𝟑𝟑)𝟐𝟐 Solución 𝑧𝑧 = 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 31 Sustitución por ecuación (5) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3 + 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 Derivamos con respecto a la variable 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 3 2 + 1 2 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 Despejando 34 31 𝑦𝑦 reemplazando en la ecuación original − 3 2 + 1 2 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑧𝑧= Realizando la separación de variables 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2𝑧𝑧= + 3 Ecuación diferencial a variable separable (∗) 𝑑𝑑𝑧𝑧 2𝑧𝑧= + 3 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 Integrando obtenemos la solución 6 6 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡 2(3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 − 31) 3 = 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 Solución general de la ecuación Presentamos el desarrollo de la integral (*) Realizamos sustitución trigonométrico Desarrollo de la integral z = 3 2 tg(θ) 𝑑𝑑𝑧𝑧 2𝑧𝑧= + 3 = D =𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎 =(𝜃𝜃) 3(𝑡𝑡𝑡𝑡= 𝜃𝜃 + 1) 𝑑𝑑𝜃𝜃 dz = 3 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑎𝑎=(𝜃𝜃)𝑑𝑑𝜃𝜃 = c c ß®n2(©) ß®n2(©) 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 6 6 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 6 6 𝜃𝜃 = 6 6 𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎𝑎 𝑡𝑡𝑡𝑡 2𝑧𝑧 3 Ejemplo 18 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔(𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟑𝟑) 30 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Solución 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 Sustitución 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 Despejando 34 31 𝑦𝑦 reemplazando en la ecuación original 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 Realizando la separación de variables (∗) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 Integrando obtenemos la solución 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 = 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 Solución general en forma implícita Presentamos el desarrollo de la integral (*) ∗ 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 − 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 − 1 𝑑𝑑𝑧𝑧 = − 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑧𝑧) 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑧𝑧 = − 1 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑧𝑧 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑧𝑧) 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑧𝑧 → Primera integral 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 Segunda integral sustitución 𝑢𝑢 = 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑧𝑧) − 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢= = 1 𝑢𝑢 = 1 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) ∴ 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = − 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑧𝑧 Ejemplo 19 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒆𝒆(𝒅𝒅¨𝒅𝒅) Solución 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 Sustitución 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 + 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 derivamos con respecto a la variable 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −1 + 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 Despejando 34 31 𝑦𝑦 reemplazando en la ecuación original −1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒≠ Realizando la separación de variables 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒≠ + 1 Ecuación diferencial a variable separable (∗) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒≠ + 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando obtenemos la solución −𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒 𝑑𝑑+𝑦𝑦 + 1 + 𝑑𝑑 + 𝑦𝑦 = x + C Solución general Presentamos el desarrollo de la integral (*) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒≠ + 1 = 𝑒𝑒N≠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒N≠ + 1 sustitución Entonces u = 𝑒𝑒N≠ + 1 𝑒𝑒N≠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒N≠ + 1 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = − ln 𝑑𝑑 = − ln 𝑒𝑒N≠ + 1 du = −𝑒𝑒N≠𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑑𝑑 + 1 𝑒𝑒𝑑𝑑 = −ln 𝑒𝑒𝑑𝑑 + 1 + 𝑑𝑑 = −𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒 𝑑𝑑+𝑦𝑦 + 1 + (𝑑𝑑 + 𝑦𝑦) Ejercicios 2.3 En los problemas del 1 -10, resuelva la ecuación diferencial dada, por separación de variables. 1. 34 31 = cos (2𝑑𝑑) 6. 𝑒𝑒1 34 31 = 2𝑑𝑑 2. 34 31 = (𝑑𝑑 + 1)= 7. 𝑑𝑑𝑦𝑦, = 4𝑦𝑦 3. 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑=𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 8. 34 31 + 2𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 4. 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑒𝑒D1𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 9. 34 31 = 4Z 12 5. 𝑑𝑑 + 1 34 31 = 𝑑𝑑 10. 34 31 = 4¨O 1 En los problemas del 11 – 18 resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a la condición inicial que se indica 31 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Solución 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 Sustitución 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 Despejando 34 31 𝑦𝑦 reemplazando en la ecuación original 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 Realizando la separación de variables (∗) 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 Integrando obtenemos la solución 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 = 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 Solución general en forma implícita Presentamos el desarrollo de la integral (*) ∗ 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 − 1 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 − 1 𝑑𝑑𝑧𝑧 = − 1 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑧𝑧) 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑧𝑧 = − 1 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑧𝑧 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑧𝑧) 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) 𝑑𝑑𝑧𝑧 → Primera integral 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑧𝑧 Segunda integral sustitución 𝑢𝑢 = 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑧𝑧) − 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢= = 1 𝑢𝑢 = 1 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑠𝑠=(𝑧𝑧) ∴ 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑧𝑧 + 1 = − 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑧𝑧 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠= 𝑧𝑧 Ejemplo 19 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒆𝒆(𝒅𝒅¨𝒅𝒅) Solución 𝑧𝑧 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 Sustitución 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 + 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 derivamos con respecto a la variable 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −1 + 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 Despejando 34 31 𝑦𝑦 reemplazando en la ecuación original −1 + 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒≠ Realizando la separación de variables 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑒𝑒≠ + 1 Ecuación diferencial a variable separable (∗) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒≠ + 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando obtenemos la solución −𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒 𝑑𝑑+𝑦𝑦 + 1 + 𝑑𝑑 + 𝑦𝑦 = x + C Solución general Presentamos el desarrollo de la integral (*) 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒≠ + 1 = 𝑒𝑒N≠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒N≠ + 1 sustitución Entonces u = 𝑒𝑒N≠ + 1 𝑒𝑒N≠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒N≠ + 1 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = − ln 𝑑𝑑 = − ln 𝑒𝑒N≠ + 1 du = −𝑒𝑒N≠𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒𝑑𝑑 + 1 𝑒𝑒𝑑𝑑 = −ln 𝑒𝑒𝑑𝑑 + 1 + 𝑑𝑑 = −𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑒𝑒 𝑑𝑑+𝑦𝑦 + 1 + (𝑑𝑑 + 𝑦𝑦) Ejercicios 2.3 En los problemas del 1 -10, resuelva la ecuación diferencial dada, por separación de variables. 1. 34 31 = cos (2𝑑𝑑) 6. 𝑒𝑒1 34 31 = 2𝑑𝑑 2. 34 31 = (𝑑𝑑 + 1)= 7. 𝑑𝑑𝑦𝑦, = 4𝑦𝑦 3. 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑=𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 8. 34 31 + 2𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 4. 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑒𝑒D1𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 9. 34 31 = 4Z 12 5. 𝑑𝑑 + 1 34 31 = 𝑑𝑑 10. 34 31 = 4¨O 1 En los problemas del 11 – 18 resuelva las ecuaciones diferenciales dadas sujetas a la condición inicial que se indica 32 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 11 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑠𝑠N4 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 + cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑 0 = 0. 16. 34 31 = 42NO 12NO , 𝑑𝑑 2 = 2 12. 1 + 𝑥𝑥B 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑥𝑥 1 + 4𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0, , 𝑑𝑑 1 = 0 17. 𝑥𝑥=𝑑𝑑, = 𝑑𝑑 − 𝑥𝑥𝑑𝑑, 𝑑𝑑 −1 = −1 13. 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑥𝑥 𝑑𝑑= + 1 O =𝑑𝑑𝑥𝑥, , 𝑑𝑑 0 = 1 18. 𝑑𝑑, + 2𝑑𝑑 = 1, 𝑑𝑑 0 = 5 2 14. 34 3u + 𝑡𝑡𝑑𝑑 = 𝑑𝑑, , 𝑑𝑑 1 = 3 15. 34 31 = 4 𝑥𝑥= + 1 , 𝑥𝑥 ± B = 1 En los problemas 19 y 20 halle una solución de la ecuación diferencial dada que pase por los puntos que se indican 19. 34 31 − 𝑑𝑑= = −9 20. 𝑥𝑥 34 31 = 𝑑𝑑= − 𝑑𝑑 (a) 0, 0 (b) 0, 3 (c) O D , 1 (a) 0, 1 (b) 0, 0 (c) O = , O = En los problemas 21 y 25 halle una solución de la ecuación diferencial dada 21. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 + 1 22. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3 − 𝑥𝑥 + 5𝑑𝑑 = 23. 𝑑𝑑, = sec (𝑥𝑥 − 𝑑𝑑) 24. 𝑑𝑑, = exp (5𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 + 2) 25. 𝑑𝑑, = cos (𝑑𝑑 + 1) 2.4. ECUACIONES HOMOGÉNEAS 2.4.1. FUNCIONES HOMOGÉNEAS Definición 2.4.1 FUNCIÓN HOMOGÉNEA Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑑𝑑) = 0 una función real. Se dice que 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑑𝑑) es una función homogénea de grado 𝑠𝑠. Si ∀ 𝑡𝑡 ∈ 𝑅𝑅 \{0} se cumple que 𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑑𝑑) = 𝑡𝑡I𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑑𝑑) con 𝑠𝑠 ∈ 𝑅𝑅 Donde: 𝑠𝑠 Determina el grado de Homogeneidad de la función real. (RAMOS, 2004) 33 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 11 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑠𝑠N4 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 + cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑, 𝑑𝑑 0 = 0. 16. 34 31 = 42NO 12NO , 𝑑𝑑 2 = 2 12. 1 + 𝑥𝑥B 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑥𝑥 1 + 4𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0, , 𝑑𝑑 1 = 0 17. 𝑥𝑥=𝑑𝑑, = 𝑑𝑑 − 𝑥𝑥𝑑𝑑, 𝑑𝑑 −1 = −1 13. 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝑥𝑥 𝑑𝑑= + 1 O =𝑑𝑑𝑥𝑥, , 𝑑𝑑 0 = 1 18. 𝑑𝑑, + 2𝑑𝑑 = 1, 𝑑𝑑 0 = 5 2 14. 34 3u + 𝑡𝑡𝑑𝑑 = 𝑑𝑑, , 𝑑𝑑 1 = 3 15. 34 31 = 4 𝑥𝑥= + 1 , 𝑥𝑥 ± B = 1 En los problemas 19 y 20 halle una solución de la ecuación diferencial dada que pase por los puntos que se indican 19. 34 31 − 𝑑𝑑= = −9 20. 𝑥𝑥 34 31 = 𝑑𝑑= − 𝑑𝑑 (a) 0, 0 (b) 0, 3 (c) O D , 1 (a) 0, 1 (b) 0, 0 (c) O = , O = En los problemas 21 y 25 halle una solución de la ecuación diferencial dada 21. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑 + 1 22. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3 − 𝑥𝑥 + 5𝑑𝑑 = 23. 𝑑𝑑, = sec (𝑥𝑥 − 𝑑𝑑) 24. 𝑑𝑑, = exp (5𝑑𝑑 − 𝑥𝑥 + 2) 25. 𝑑𝑑, = cos (𝑑𝑑 + 1) 2.4. ECUACIONES HOMOGÉNEAS 2.4.1. FUNCIONES HOMOGÉNEAS Definición 2.4.1 FUNCIÓN HOMOGÉNEA Sea 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑑𝑑) = 0 una función real. Se dice que 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑑𝑑) es una función homogénea de grado 𝑠𝑠. Si ∀ 𝑡𝑡 ∈ 𝑅𝑅 \{0} se cumple que 𝑓𝑓(𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑑𝑑) = 𝑡𝑡I𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑑𝑑) con 𝑠𝑠 ∈ 𝑅𝑅 Donde: 𝑠𝑠 Determina el grado de Homogeneidad de la función real. (RAMOS, 2004) Verificar la homogeneidad de funciones reales. Ejemplo 20 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = yxyx ++5 es una función homogénea de grado 1. Comprobación 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 tytxtyx ++ 5 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 yxyx ++5 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = 𝑡𝑡 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) se verifica que 𝑡𝑡 tiene exponente 1, que representa el grado. Ejemplo 21 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 33 yx + es una función homogénea de grado D = . Comprobación 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = 33 )()( tytx + 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = 3333 ytxt + 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = 332 3 yxt + 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = ),(2 3 yxft se verifica que 𝑡𝑡 tiene exponente D = , que representa el grado. Ejemplo 22 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 4 2 + y x es una función homogénea de grado 0. Comprobación 𝑓𝑓 𝑡𝑡𝑥𝑥, 𝑡𝑡𝑦𝑦 = 4 2 + ty tx 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑡𝑡Q 4 2 + y x se verifica que 𝑡𝑡 tiene exponente 0, y representa el grado. Ejemplo 23 𝒇𝒇 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 No es una función homogénea porque todos los términos no tienen el mismo grado. EJERCICIOS RESUELTOS 34 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN NOTA: • Para verificar la homogeneidad de una función real se observa cada término tenga el mismo grado (exponente). • Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es una función homogénea de grado n, entonces Ø 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥I 1 + 4 1 Ø 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦I 1 4 + 1 Ejercicios 2.4.1 Verificar si las siguientes funciones son homogéneas, en el caso de serlas identificar su grado. 1. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= 𝑥𝑥𝑦𝑦 D 2. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 1 3. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = ln 𝑥𝑥 + ln (𝑦𝑦) 4. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑦𝑦 5. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥N=𝑦𝑦= + 3 2.4.2. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Integración de una EDO homogénea Una ecuación diferencial homogénea puede expresarse siempre en la forma alternativa 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑥𝑥 Definición 2.4.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Una ecuación diferencial de la forma 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.8) Se dice que es una ecuación diferencial homogénea sí, 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) y 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) son funciones homogéneas del mismo grado. 35 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN NOTA: • Para verificar la homogeneidad de una función real se observa cada término tenga el mismo grado (exponente). • Si 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es una función homogénea de grado n, entonces Ø 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥I 1 + 4 1 Ø 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦I 1 4 + 1 Ejercicios 2.4.1 Verificar si las siguientes funciones son homogéneas, en el caso de serlas identificar su grado. 1. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= 𝑥𝑥𝑦𝑦 D 2. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 + 1 3. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = ln 𝑥𝑥 + ln (𝑦𝑦) 4. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑦𝑦 5. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥N=𝑦𝑦= + 3 2.4.2. ECUACIONES HOMOGÉNEAS Integración de una EDO homogénea Una ecuación diferencial homogénea puede expresarse siempre en la forma alternativa 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑥𝑥 Definición 2.4.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL HOMOGÉNEA Una ecuación diferencial de la forma 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.8) Se dice que es una ecuación diferencial homogénea sí, 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) y 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) son funciones homogéneas del mismo grado. Para ver esto, supóngase que escribimos la ecuación 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 como 34 31 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 , en donde 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = − 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 Cuando 𝑀𝑀 y 𝑁𝑁 son homogéneos de grado 𝑛𝑛, la función 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 debe ser necesariamente homogénea de grado cero. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥I𝑀𝑀 1, 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑥𝑥I𝑁𝑁 1, 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = − 𝑀𝑀 1, 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑁𝑁 1, 𝑦𝑦 𝑥𝑥 Se ve que el último cociente es una función de la forma 𝐹𝐹 𝑦𝑦 𝑥𝑥 . Se deja como ejercicio demostrar que una ecuación diferencial homogénea también puede escribirse como 34 31 = 𝑓𝑓 1 4 . Es decir, 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 puede ser expresada como 𝑦𝑦´ = 𝑓𝑓 4 1 con la finalidad de utilizar una función incógnita 𝑢𝑢 que liga las variables de la ecuación diferencial de la siguiente manera: sustitución 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑥𝑥 derivando 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 reemplazando en 𝑦𝑦´ = 𝑓𝑓 𝑦𝑦 𝑥𝑥 se tiene 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓(𝑢𝑢) donde 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑓𝑓 𝑢𝑢 − 𝑢𝑢 representando una ecuación diferencial a variables separables, donde 𝑓𝑓 constituye una función continua en algún intervalo de 𝑅𝑅. 36 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas. Ejemplo 24 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝒚𝒚𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐) y 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = −𝒙𝒙𝒚𝒚 son funciones homogéneas de grado 2, de acuerdo a la ecuación (2.8). Desarrollo: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 Dividimos por 𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 + 2 𝑑𝑑= 𝑑𝑑= 𝑑𝑑 𝑑𝑑 Sustitución 𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑑𝑑 → 𝑢𝑢 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢= 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 1 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Por separación de variables 1 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 + 𝑢𝑢= = ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Integrando 1 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑑𝑑= + 𝑑𝑑= 𝑑𝑑= = ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Por propiedades de los logaritmos 2𝑑𝑑= + 𝑑𝑑= = 𝑘𝑘𝑑𝑑B 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙 𝑘𝑘 = 𝑒𝑒=à Solución general en forma implícita Ejemplo 25 0)32(34 =−ʹ+− xyyyx 𝑀𝑀 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 y 𝑁𝑁 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 son funciones homogéneas de grado 1. EJERCICIOS RESUELTOS 37 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales homogéneas. Ejemplo 24 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝒚𝒚𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟐𝟐(𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐) y 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = −𝒙𝒙𝒚𝒚 son funciones homogéneas de grado 2, de acuerdo a la ecuación (2.8). Desarrollo: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 𝑑𝑑2 + 𝑑𝑑2 𝑑𝑑𝑑𝑑 Dividimos por 𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 2 + 2 𝑑𝑑= 𝑑𝑑= 𝑑𝑑 𝑑𝑑 Sustitución 𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑑𝑑 → 𝑢𝑢 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 2 + 𝑢𝑢= 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 1 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Por separación de variables 1 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 + 𝑢𝑢= = ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Integrando 1 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 2𝑑𝑑= + 𝑑𝑑= 𝑑𝑑= = ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Por propiedades de los logaritmos 2𝑑𝑑= + 𝑑𝑑= = 𝑘𝑘𝑑𝑑B 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑙𝑙 𝑘𝑘 = 𝑒𝑒=à Solución general en forma implícita Ejemplo 25 0)32(34 =−ʹ+− xyyyx 𝑀𝑀 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 y 𝑁𝑁 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 son funciones homogéneas de grado 1. EJERCICIOS RESUELTOS Desarrollo: sustitución 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑢𝑢 ⇒ 𝑢𝑢 = 𝑦𝑦 𝑢𝑢 derivando 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑢𝑢 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 ecuación 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 4𝑢𝑢 − 3𝑦𝑦 3𝑢𝑢 − 2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑢𝑢, 𝑙𝑙𝑢𝑢𝑙𝑙𝑙𝑙𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 4 − 3 𝑦𝑦 𝑢𝑢 3 − 2 𝑦𝑦 𝑢𝑢 reemplazando 𝑢𝑢 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 4 − 3𝑢𝑢 3 − 2𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑙𝑙𝑝𝑝𝑢𝑢𝑝𝑝𝑝𝑝𝑎𝑎𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 2𝑢𝑢= − 6𝑢𝑢 + 4 3 − 2𝑢𝑢 separando (3 − 2𝑢𝑢) 2𝑢𝑢= − 6𝑢𝑢 + 4 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑑𝑑𝑑𝑑𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑖𝑖𝑙𝑙𝑙𝑙𝑝𝑝𝑝𝑝𝑙𝑙 𝑝𝑝 = 2𝑢𝑢= − 6𝑢𝑢 + 4 integrando − 1 2 1 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 − 1 2 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑝𝑝 = 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑢𝑢 + 𝐶𝐶 𝑐𝑐𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑝𝑝 = 2𝑢𝑢= − 6𝑢𝑢 + 4 𝑦𝑦 𝑢𝑢 = 𝑦𝑦 𝑢𝑢 Solución − 1 2 𝑙𝑙𝑎𝑎 2 𝑦𝑦 𝑢𝑢 = − 6 𝑦𝑦 𝑢𝑢 + 4 = 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑢𝑢 + 𝐶𝐶 Ejemplo 25 𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒙𝒙𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 𝑀𝑀 𝑢𝑢, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑢𝑢, 𝑦𝑦 son funciones homogéneas de grado 2. Realizando la sustitución 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑢𝑢, y derivando se obtiene 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢, que reemplazando en la ecuación dada permite la solución. Desarrollo: 𝑢𝑢= + 𝑢𝑢=𝑢𝑢= 𝑑𝑑𝑢𝑢 + 𝑢𝑢= − 𝑢𝑢𝑢𝑢= 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 0 𝑢𝑢= 1 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 + 𝑢𝑢D 1 − 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 0 1 − 𝑢𝑢 1 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 + 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 = 0 −1 + 2 1 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 + 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 = 0 −𝑢𝑢 + 2𝑙𝑙𝑎𝑎 1 + 𝑢𝑢 + 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑢𝑢 = 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑐𝑐 − 𝑦𝑦 𝑢𝑢 + 2𝑙𝑙𝑎𝑎 1 + 𝑦𝑦 𝑢𝑢 + 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑢𝑢 = 𝑙𝑙𝑎𝑎 𝑐𝑐 38 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Usando las propiedades de los logaritmos, la solución de arriba puede escribirse en la forma alterna 𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = = 𝑥𝑥𝑒𝑒 4 1 Ejemplo 26 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 son funciones homogéneas de grado 1. Desarrollo: Los coeficientes 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 son a homogéneos de grado 1. Si hacemos 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑥𝑥, la ecuación diferencial se transforma, luego de simplificar, en 𝑑𝑑𝑢𝑢 2𝑢𝑢 − 2𝑢𝑢 O = + 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 0 La integral del primer término puede calcularse mediante la sustitución adicional 𝑡𝑡 = 𝑢𝑢O =. El resultado es 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡 − 1 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡 − 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 = 𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 Ejemplo 27 𝑥𝑥 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝒆𝒆 𝒙𝒙 𝒙𝒙 sujeta a 𝒙𝒙 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 Desarrollo: Escribiendo la ecuación en la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒4/1 es claro que la función en el segundo miembro de la igualdad es homogénea de grado cero. La forma de esta ecuación sugiere utilizar 𝑢𝑢 = 4 1 . Derivando 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑥𝑥 mediante la regla del producto y sustituyendo obtenemos 39 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Usando las propiedades de los logaritmos, la solución de arriba puede escribirse en la forma alterna 𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = = 𝑥𝑥𝑒𝑒 4 1 Ejemplo 26 𝟐𝟐 𝒙𝒙𝒙𝒙 − 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 son funciones homogéneas de grado 1. Desarrollo: Los coeficientes 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 son a homogéneos de grado 1. Si hacemos 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑥𝑥, la ecuación diferencial se transforma, luego de simplificar, en 𝑑𝑑𝑢𝑢 2𝑢𝑢 − 2𝑢𝑢 O = + 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 0 La integral del primer término puede calcularse mediante la sustitución adicional 𝑡𝑡 = 𝑢𝑢O =. El resultado es 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑡𝑡 − 1 + 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 0 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑡𝑡 − 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 + 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑐𝑐 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 1 = 𝑐𝑐 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐 Ejemplo 27 𝑥𝑥 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝒆𝒆 𝒙𝒙 𝒙𝒙 sujeta a 𝒙𝒙 𝟏𝟏 = 𝟏𝟏 Desarrollo: Escribiendo la ecuación en la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥 + 𝑒𝑒4/1 es claro que la función en el segundo miembro de la igualdad es homogénea de grado cero. La forma de esta ecuación sugiere utilizar 𝑢𝑢 = 4 1 . Derivando 𝑦𝑦 = 𝑢𝑢𝑥𝑥 mediante la regla del producto y sustituyendo obtenemos 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 + 𝑒𝑒ª 𝑒𝑒Nª𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 Por lo tanto −𝑒𝑒Nª + 𝑐𝑐 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 −𝑒𝑒N 4 1 + 𝑐𝑐 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 Como 𝑦𝑦 = 1 cuando 𝑥𝑥 = 1, se obtiene −𝑒𝑒NO + 𝑐𝑐 = 0 o bien 𝑐𝑐 = 𝑒𝑒NO. Por consiguiente, la solución del problema de valor inicial es 𝑒𝑒NO − 𝑒𝑒N 4 1 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 Ejercicios 2.4.2 En los problemas del 1-10 determine si la función dada es homogénea. Si lo es, indique su grado de homogeneidad. 1. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 − 4 Z 1 6. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑙𝑙 1 1¨4 2. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 4𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 7. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 = − 2 ln 𝑦𝑦 3. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 1 Z4N1242 1¨º4 8. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 D/𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑦𝑦 D 4. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 1 42¨ 1b¨4b 9. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥NO + 𝑦𝑦NO = 5. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 1 2 1¨4 10. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 = En los problemas del 11 – 15 resuelva la ecuación diferencial dada usando una sustitución apropiada 11. 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 12. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 13. 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 14. 𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 = 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 15. 𝑦𝑦= + 𝑦𝑦𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 40 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En los problemas del 16 – 20 resuelva la ecuación diferencial dada, sujeta a la condición inicial que se indica. 16. 𝑥𝑥𝑦𝑦= 34 31 = 𝑦𝑦D − 𝑥𝑥D, 𝑦𝑦 1 = 2 17. 𝑥𝑥= + 2𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑦𝑦 −1 = 1 18. 2𝑥𝑥= 34 31 = 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦=, 𝑦𝑦 1 = −2 19. 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦=𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑦𝑦 0 = 1 20. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑒𝑒 4 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 4 1𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 1 = 0 2.4.3. REDUCCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS A HOMOGÉNEAS INTEGRACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA REDUCIBLE A HOMOGÉNEA. Análisis de la función 𝑓𝑓 ''' cybxa cbyax ++ ++ en términos de sus coeficientes, para lo cual tenemos los siguientes casos: a. Si 𝒄𝒄 = 𝒄𝒄, = 𝟎𝟎 la ecuación diferencial es la siguiente forma ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = x yba x yba f ybxa byaxf dx dy '''' Definición 2.4.3 Ecuación diferencial REDUCIBLE A HOMOGÉNEA Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 Ω æ (2.9) Se dice que una ecuación diferencial es reducible a homogénea. Donde: a, b, c, a´, b´, y c´ son constantes con a y b; a´y b´ no nulos a la vez. 41 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En los problemas del 16 – 20 resuelva la ecuación diferencial dada, sujeta a la condición inicial que se indica. 16. 𝑥𝑥𝑦𝑦= 34 31 = 𝑦𝑦D − 𝑥𝑥D, 𝑦𝑦 1 = 2 17. 𝑥𝑥= + 2𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑦𝑦 −1 = 1 18. 2𝑥𝑥= 34 31 = 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦=, 𝑦𝑦 1 = −2 19. 𝑥𝑥𝑦𝑦𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦=𝑑𝑑𝑦𝑦, 𝑦𝑦 0 = 1 20. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑒𝑒 4 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑒𝑒 4 1𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 1 = 0 2.4.3. REDUCCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS A HOMOGÉNEAS INTEGRACIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ORDINARIA REDUCIBLE A HOMOGÉNEA. Análisis de la función 𝑓𝑓 ''' cybxa cbyax ++ ++ en términos de sus coeficientes, para lo cual tenemos los siguientes casos: a. Si 𝒄𝒄 = 𝒄𝒄, = 𝟎𝟎 la ecuación diferencial es la siguiente forma ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛+ =⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + = x yba x yba f ybxa byaxf dx dy '''' Definición 2.4.3 Ecuación diferencial REDUCIBLE A HOMOGÉNEA Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 Ω æ (2.9) Se dice que una ecuación diferencial es reducible a homogénea. Donde: a, b, c, a´, b´, y c´ son constantes con a y b; a´y b´ no nulos a la vez. ⇒ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛= x yf dx dy es decir, es una E.D.O. homogénea; la misma que es resuelta mediante la sustitución x yu = Representan los ejemplos realizados en el apartado 2.4.2 b. Si 𝒄𝒄 ≠ 𝟎𝟎 o 𝒄𝒄´ ≠ 𝟎𝟎 con 𝒄𝒄 ≠ 𝒄𝒄´ Las rectas se intersecan En la figura 9 tenemos dos funciones lineales que se intersecan en un único punto 𝑃𝑃 ℎ, 𝑘𝑘 ; es decir, sean L1: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 L2: 𝑎𝑎´𝑎𝑎 + 𝑏𝑏´𝑏𝑏 + 𝑐𝑐´ = 0 Si realizamos una traslación de ejes al punto 𝑃𝑃 ℎ, 𝑘𝑘 donde se intersecan las rectas 𝐿𝐿O 𝑏𝑏 𝐿𝐿=, estaremos consiguiendo que la ecuación diferencial se pueda reducir a una EDO homogénea mediante las siguientes sustituciones. Figura 9. Traslación de ejes para la homogeneidad Fuente. Autores Realizando las sustituciones 𝑎𝑎 = ℎ + 𝑢𝑢 𝑏𝑏 = 𝑘𝑘 + 𝑣𝑣 ⇒ 𝑑𝑑𝑎𝑎 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑏𝑏 = 𝑑𝑑𝑣𝑣 v u L1L2 h o k x y 42 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Tenemos que 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ''' cybxa cbyax ++ ++ ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 vbua bvau '' + + ⟺ 𝑑𝑑´ = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑎𝑎´ + 𝑏𝑏´ 𝑑𝑑 𝑑𝑑 ⇔ 𝑑𝑑´ = 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑 (∗) La expresión (*) representa una ecuación diferencial ordinaria homogénea y es resuelta por la técnica descrita en el apartado 2.4.2 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reduciéndoles a homogéneas. Ejemplo 28 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝟒𝟒𝒅𝒅 + 𝟑𝟑𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟐𝟐𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟕𝟕 Al considerar la ecuación (7), se tiene que 𝑴𝑴 𝒅𝒅, 𝒅𝒅 y 𝑵𝑵 𝒅𝒅, 𝒅𝒅 no son funciones homogéneas porque todos sus elementos no tienen el mismo grado. Desarrollo: Sean 𝐿𝐿O: 𝟒𝟒𝒅𝒅 + 𝟑𝟑𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 𝐿𝐿=: 𝟐𝟐𝒅𝒅 + 𝒅𝒅+ 𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 EJERCICIOS RESUELTOS Verificamos en la figura 10 que las rectas son intersecantes Figura 10. Intersección de las funciones lineales de la EDO Fuente. Autores Como se intersecan en el punto 𝐴𝐴(−3,−1), entonces las sustituciones están dadas por: 𝑥𝑥 = −3 + 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = −1 + 𝑣𝑣 ⇒ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑣𝑣 Reemplazando tenemos 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝟒𝟒𝒅𝒅 + 𝟑𝟑𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟕𝟕 ⟺ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 4𝑢𝑢 + 3𝑣𝑣 2𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 (∗) Luego (*) representa una ecuación diferencial homogénea, que al realizar la sustitución 𝑣𝑣 = 𝑤𝑤. 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 Tenemos la ecuación 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = − 4 + 3𝑤𝑤 2 + 𝑤𝑤 siendo 𝑤𝑤 = 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = − 𝑤𝑤= + 5𝑤𝑤 + 4 2 + 𝑤𝑤 Separando las variables e integrando 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 = − 2 + 𝑤𝑤 𝑤𝑤= + 5𝑤𝑤 + 4 𝑑𝑑𝑤𝑤 43 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Tenemos que 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ''' cybxa cbyax ++ ++ ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 vbua bvau '' + + ⟺ 𝑑𝑑´ = 𝑓𝑓 𝑎𝑎 + 𝑏𝑏 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑎𝑎´ + 𝑏𝑏´ 𝑑𝑑 𝑑𝑑 ⇔ 𝑑𝑑´ = 𝑔𝑔 𝑑𝑑 𝑑𝑑 (∗) La expresión (*) representa una ecuación diferencial ordinaria homogénea y es resuelta por la técnica descrita en el apartado 2.4.2 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reduciéndoles a homogéneas. Ejemplo 28 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝟒𝟒𝒅𝒅 + 𝟑𝟑𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟓𝟓 𝟐𝟐𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟕𝟕 Al considerar la ecuación (7), se tiene que 𝑴𝑴 𝒅𝒅, 𝒅𝒅 y 𝑵𝑵 𝒅𝒅, 𝒅𝒅 no son funciones homogéneas porque todos sus elementos no tienen el mismo grado. Desarrollo: Sean 𝐿𝐿O: 𝟒𝟒𝒅𝒅 + 𝟑𝟑𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟓𝟓 = 𝟎𝟎 𝐿𝐿=: 𝟐𝟐𝒅𝒅 + 𝒅𝒅+ 𝟕𝟕 = 𝟎𝟎 EJERCICIOS RESUELTOS Verificamos en la figura 10 que las rectas son intersecantes Figura 10. Intersección de las funciones lineales de la EDO Fuente. Autores Como se intersecan en el punto 𝐴𝐴(−3,−1), entonces las sustituciones están dadas por: 𝑥𝑥 = −3 + 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = −1 + 𝑣𝑣 ⇒ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑣𝑣 Reemplazando tenemos 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝟒𝟒𝒅𝒅 + 𝟑𝟑𝒅𝒅 + 𝟏𝟏𝟏𝟏 𝟐𝟐𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟕𝟕 ⟺ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 4𝑢𝑢 + 3𝑣𝑣 2𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 (∗) Luego (*) representa una ecuación diferencial homogénea, que al realizar la sustitución 𝑣𝑣 = 𝑤𝑤. 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 Tenemos la ecuación 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = − 4 + 3𝑤𝑤 2 + 𝑤𝑤 siendo 𝑤𝑤 = 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = − 𝑤𝑤= + 5𝑤𝑤 + 4 2 + 𝑤𝑤 Separando las variables e integrando 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 = − 2 + 𝑤𝑤 𝑤𝑤= + 5𝑤𝑤 + 4 𝑑𝑑𝑤𝑤 44 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN ln 𝑢𝑢 +𝑐𝑐 = − 4 3 arctan 2 3 𝑤𝑤 + 5 2 + 4 3 ln 𝑤𝑤 + 4 − 1 3 Expresando en las variables originales, tenemos 𝒍𝒍𝒍𝒍 |𝒙𝒙 + 𝟑𝟑| + 𝒄𝒄 = − 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 + 𝟓𝟓 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝐥𝐥𝐚𝐚 𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 + 𝟒𝟒 − 𝟏𝟏 𝟑𝟑 Obteniendo la solución general de la ecuación diferencial. Ejemplo 29 𝒅𝒅𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 Al considerar la ecuación (2.9), se tiene que 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 no son funciones homogéneas porque todos sus elementos no tienen el mismo grado. Desarrollo: Sean 𝑳𝑳𝟏𝟏: 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝑳𝑳𝟐𝟐: 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 Verificamos en la figura 11 que las rectas se intersecan Figura 11. Intersección de funciones lineales de la EDO Fuente. Autores Como se intersecan en el punto 𝐴𝐴(1,0), entonces las sustituciones están dadas por 𝑥𝑥 = 1 + 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = 0 + 𝑣𝑣 ⇒ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑣𝑣 Reemplazando tenemos 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 ⟺ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 𝑢𝑢 − 𝑣𝑣 (∗) Luego (*) representa una ecuación diferencial homogénea, que al realizar la sustitución 𝑣𝑣 = 𝑤𝑤. 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 Tenemos la ecuación 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 1 + 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤 = 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑤𝑤= + 1 1 − 𝑤𝑤 Separando las variables e integrando 1 − 𝑤𝑤 𝑤𝑤= + 1 𝑑𝑑𝑤𝑤 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 arc tan 𝑤𝑤 − 1 2 ln 𝑤𝑤= + 1 = ln 𝑢𝑢 + 𝐶𝐶 Expresando en las variables originales, tenemos 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝒅𝒅 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝐥𝐥𝐚𝐚 𝒅𝒅 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍 |𝒅𝒅 − 𝟏𝟏| + 𝒄𝒄 c. Las rectas no se intersecan Entonces las funciones lineales no se intersecan. Véase la figura 12 Sean L1: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 L2: 𝑎𝑎´𝑎𝑎 + 𝑏𝑏´𝑏𝑏 + 𝑐𝑐´ = 0 Figura 12. Funciones lineales paralelas. Fuente. Autores 𝐶𝐶𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑 𝐿𝐿O ∩ 𝐿𝐿= = ∅ Entonces los vectores 𝑁𝑁O 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑁𝑁= 𝑎𝑎´, 𝑏𝑏´ 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛𝐶𝐶𝑎𝑎𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝐿𝐿O 𝑏𝑏 𝐿𝐿= N1 (a,b) N2 (a,b) L1 L2 y x o 45 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN ln 𝑢𝑢 +𝑐𝑐 = − 4 3 arctan 2 3 𝑤𝑤 + 5 2 + 4 3 ln 𝑤𝑤 + 4 − 1 3 Expresando en las variables originales, tenemos 𝒍𝒍𝒍𝒍 |𝒙𝒙 + 𝟑𝟑| + 𝒄𝒄 = − 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝟐𝟐 𝟑𝟑 𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 + 𝟓𝟓 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒 𝟑𝟑 𝐥𝐥𝐚𝐚 𝒚𝒚 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 + 𝟑𝟑 + 𝟒𝟒 − 𝟏𝟏 𝟑𝟑 Obteniendo la solución general de la ecuación diferencial. Ejemplo 29 𝒅𝒅𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 Al considerar la ecuación (2.9), se tiene que 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 no son funciones homogéneas porque todos sus elementos no tienen el mismo grado. Desarrollo: Sean 𝑳𝑳𝟏𝟏: 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝑳𝑳𝟐𝟐: 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 Verificamos en la figura 11 que las rectas se intersecan Figura 11. Intersección de funciones lineales de la EDO Fuente. Autores Como se intersecan en el punto 𝐴𝐴(1,0), entonces las sustituciones están dadas por 𝑥𝑥 = 1 + 𝑢𝑢 𝑦𝑦 = 0 + 𝑣𝑣 ⇒ 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑣𝑣 Reemplazando tenemos 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 ⟺ 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝑢𝑢 + 𝑣𝑣 𝑢𝑢 − 𝑣𝑣 (∗) Luego (*) representa una ecuación diferencial homogénea, que al realizar la sustitución 𝑣𝑣 = 𝑤𝑤. 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑣𝑣 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 Tenemos la ecuación 𝑤𝑤 + 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 1 + 𝑤𝑤 1 − 𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑤𝑤 = 𝑣𝑣 𝑢𝑢 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑤𝑤 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑤𝑤= + 1 1 − 𝑤𝑤 Separando las variables e integrando 1 − 𝑤𝑤 𝑤𝑤= + 1 𝑑𝑑𝑤𝑤 = 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢 arc tan 𝑤𝑤 − 1 2 ln 𝑤𝑤= + 1 = ln 𝑢𝑢 + 𝐶𝐶 Expresando en las variables originales, tenemos 𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚𝐚 𝒅𝒅 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝐥𝐥𝐚𝐚 𝒅𝒅 𝒅𝒅 − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝒍𝒍𝒍𝒍 |𝒅𝒅 − 𝟏𝟏| + 𝒄𝒄 c. Las rectas no se intersecan Entonces las funciones lineales no se intersecan. Véase la figura 12 Sean L1: 𝑎𝑎𝑎𝑎 + 𝑏𝑏𝑏𝑏 + 𝑐𝑐 = 0 L2: 𝑎𝑎´𝑎𝑎 + 𝑏𝑏´𝑏𝑏 + 𝑐𝑐´ = 0 Figura 12. Funciones lineales paralelas. Fuente. Autores 𝐶𝐶𝑑𝑑𝐶𝐶𝑑𝑑 𝐿𝐿O ∩ 𝐿𝐿= = ∅ Entonces los vectores 𝑁𝑁O 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 𝑏𝑏 𝑁𝑁= 𝑎𝑎´, 𝑏𝑏´ 𝑠𝑠𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛𝐶𝐶𝑎𝑎𝑛𝑛𝑑𝑑𝑠𝑠 𝑎𝑎 𝐿𝐿O 𝑏𝑏 𝐿𝐿= N1 (a,b) N2 (a,b) L1 L2 y x o 46 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Es decir, son paralelos o colineales, entonces 𝑁𝑁O = 𝛼𝛼 𝑁𝑁= ⟺ 𝑎𝑎´ = 𝛼𝛼𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑏𝑏´ = 𝛼𝛼𝑏𝑏 Luego, tenemos que 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ''' cybxa cbyax ++ ++ ⟺ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝛼𝛼 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐´ ⟺ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐´ ⟺ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 (∗) Por lo tanto, la sustitución 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦, transforma a la ecuación (*) en una ecuación diferencial a variable separable. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reduciéndoles a homogéneas. Ejemplo 30 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑀𝑀 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 no son funciones homogéneas. Desarrollo: Sean 𝐿𝐿O: 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝐿𝐿=: 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Verificamos en la figura 13 que las rectas no se intersecan. Figura 13. Funciones lineales paralelas de la EDO Fuente. Autores EJERCICIOS RESUELTOS Entonces a la ecuación diferencial lo podemos expresar de la siguiente forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐− 𝟏𝟏) 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝒙𝒙− 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐) + 𝟐𝟐 Realizando la sustitución 𝒛𝒛 = 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐, lo transformamos a una ecuación diferencial homogénea, donde 𝒅𝒅𝒛𝒛 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 , así tenemos 1 2 − 1 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝒛𝒛 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝒛𝒛 + 𝟐𝟐 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑 3𝑑𝑑 + 2 Separando las variables e integrando 3𝑑𝑑 + 2 5𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⟺ 3 5 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2 5 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Expresando en las variables originales, determinamos la solución general. 3 5 𝑑𝑑 − 2𝑑𝑑 + 2 5 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑 − 2𝑑𝑑 = x + 𝐶𝐶 Ejemplo 31 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑀𝑀 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 y 𝑁𝑁 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 no son funciones homogéneas. Desarrollo: Sean 𝐿𝐿O: 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝐿𝐿=: 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 Verificamos en la figura 14 que las rectas no se intersecan. Figura 14. Funciones lineales paralelas de la EDO Fuente. Autores Entonces a la ecuación diferencial lo podemos expresar de la siguiente forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 47 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Es decir, son paralelos o colineales, entonces 𝑁𝑁O = 𝛼𝛼 𝑁𝑁= ⟺ 𝑎𝑎´ = 𝛼𝛼𝑎𝑎 𝑦𝑦 𝑏𝑏´ = 𝛼𝛼𝑏𝑏 Luego, tenemos que 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 ''' cybxa cbyax ++ ++ ⟺ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝛼𝛼 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐´ ⟺ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐 𝛼𝛼 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 + 𝑐𝑐´ ⟺ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑔𝑔 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦 (∗) Por lo tanto, la sustitución 𝑧𝑧 = 𝑎𝑎𝑑𝑑 + 𝑏𝑏𝑦𝑦, transforma a la ecuación (*) en una ecuación diferencial a variable separable. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reduciéndoles a homogéneas. Ejemplo 30 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑀𝑀 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 no son funciones homogéneas. Desarrollo: Sean 𝐿𝐿O: 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝐿𝐿=: 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝟐𝟐 + 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Verificamos en la figura 13 que las rectas no se intersecan. Figura 13. Funciones lineales paralelas de la EDO Fuente. Autores EJERCICIOS RESUELTOS Entonces a la ecuación diferencial lo podemos expresar de la siguiente forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐− 𝟏𝟏) 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟔𝟔𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝒙𝒙− 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐) + 𝟐𝟐 Realizando la sustitución 𝒛𝒛 = 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐, lo transformamos a una ecuación diferencial homogénea, donde 𝒅𝒅𝒛𝒛 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 − 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 , así tenemos 1 2 − 1 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝒛𝒛 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝒛𝒛 + 𝟐𝟐 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑 3𝑑𝑑 + 2 Separando las variables e integrando 3𝑑𝑑 + 2 5𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⟺ 3 5 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2 5 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Expresando en las variables originales, determinamos la solución general. 3 5 𝑑𝑑 − 2𝑑𝑑 + 2 5 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑 − 2𝑑𝑑 = x + 𝐶𝐶 Ejemplo 31 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 𝑀𝑀 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 y 𝑁𝑁 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 no son funciones homogéneas. Desarrollo: Sean 𝐿𝐿O: 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 𝐿𝐿=: 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 Verificamos en la figura 14 que las rectas no se intersecan. Figura 14. Funciones lineales paralelas de la EDO Fuente. Autores Entonces a la ecuación diferencial lo podemos expresar de la siguiente forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝒙𝒙 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟑𝟑 48 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Realizando la sustitución 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐, lo transformamos a una ecuación diferencial homogénea, donde 𝒅𝒅𝒛𝒛 𝒅𝒅𝟑𝟑 = 𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟑𝟑 , así tenemos 3 2 − 1 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 + 3 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 + 7 𝑑𝑑 + 3 Separando las variables e integrando 𝑑𝑑 + 3 𝑑𝑑 + 7 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 7 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Expresando en las variables originales, determinamos la solución general. 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟒𝟒 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟕𝟕 = 𝟑𝟑 + 𝑪𝑪 Una forma alternativa de reducir ecuaciones diferenciales no lineales a ecuaciones diferenciales homogéneas, es mediante la sustitución 𝟐𝟐 = 𝒛𝒛𝜶𝜶 𝟖𝟖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒍𝒍 𝜶𝜶 ∈ 𝑹𝑹, Donde 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟑𝟑 = 𝜶𝜶𝒛𝒛𝜶𝜶N𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒛𝒛 𝒅𝒅𝟑𝟑 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reduciéndoles a homogéneas. Ejemplo 32 𝟒𝟒𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Se puede evidenciar que se trata de una ecuación diferencial no lineal. Desarrollo: Al utilizar la sustitución dada en (8), se tiene Sustitución 𝟐𝟐 = 𝒛𝒛𝜶𝜶 Derivamos con respecto a 𝑑𝑑 𝒅𝒅𝟐𝟐 =∝ 𝒛𝒛∝N𝟏𝟏𝒅𝒅𝒛𝒛 Reemplazamos en la ecuación 4𝑑𝑑𝑑𝑑=∝𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3𝑑𝑑=𝑑𝑑∝ − 1 ∝ 𝑑𝑑∝NO𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 FORMA ALTERNATIVA DE REDUCIR A ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS 49 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Realizando la sustitución 𝒛𝒛 = 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐, lo transformamos a una ecuación diferencial homogénea, donde 𝒅𝒅𝒛𝒛 𝒅𝒅𝟑𝟑 = 𝟑𝟑 − 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟑𝟑 , así tenemos 3 2 − 1 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 + 3 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 + 7 𝑑𝑑 + 3 Separando las variables e integrando 𝑑𝑑 + 3 𝑑𝑑 + 7 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⟺ 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 4 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 + 7 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Expresando en las variables originales, determinamos la solución general. 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟒𝟒 𝒍𝒍𝒍𝒍 𝟑𝟑𝟑𝟑 − 𝟐𝟐𝟐𝟐 + 𝟕𝟕 = 𝟑𝟑 + 𝑪𝑪 Una forma alternativa de reducir ecuaciones diferenciales no lineales a ecuaciones diferenciales homogéneas, es mediante la sustitución 𝟐𝟐 = 𝒛𝒛𝜶𝜶 𝟖𝟖 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒍𝒍 𝜶𝜶 ∈ 𝑹𝑹, Donde 𝒅𝒅𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟑𝟑 = 𝜶𝜶𝒛𝒛𝜶𝜶N𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒛𝒛 𝒅𝒅𝟑𝟑 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales reduciéndoles a homogéneas. Ejemplo 32 𝟒𝟒𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 + 𝟑𝟑𝟑𝟑𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Se puede evidenciar que se trata de una ecuación diferencial no lineal. Desarrollo: Al utilizar la sustitución dada en (8), se tiene Sustitución 𝟐𝟐 = 𝒛𝒛𝜶𝜶 Derivamos con respecto a 𝑑𝑑 𝒅𝒅𝟐𝟐 =∝ 𝒛𝒛∝N𝟏𝟏𝒅𝒅𝒛𝒛 Reemplazamos en la ecuación 4𝑑𝑑𝑑𝑑=∝𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3𝑑𝑑=𝑑𝑑∝ − 1 ∝ 𝑑𝑑∝NO𝑑𝑑𝑑𝑑 = 0 FORMA ALTERNATIVA DE REDUCIR A ECUACIONES DIFERENCIALES HOMOGÉNEAS Agrupando 4𝑥𝑥𝑧𝑧=∝𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥=𝑧𝑧=∝NO − 𝑧𝑧∝NO ∝ 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 0 (*) Igualando los exponentes 2 ∝ +1 = 2 ∝ +1 =∝ −1 ⇒ 𝛼𝛼 = −2 Reemplazamos 𝛼𝛼 en (*) 4𝑥𝑥𝑧𝑧NB𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥=𝑧𝑧NX − 𝑧𝑧ND (−2)𝑑𝑑𝑧𝑧 = 0 Obtenemos una ecuación homogénea 2𝑥𝑥𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥= − 𝑧𝑧= 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 0 Ahora 𝑧𝑧 = 𝑢𝑢𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 ⇒ 2𝑢𝑢𝑥𝑥=𝑑𝑑𝑥𝑥 − 3𝑥𝑥= − 𝑢𝑢𝑥𝑥 = (𝑢𝑢𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑢𝑢) = 0 Separando las variables e integrando 3 − 𝑢𝑢= 𝑢𝑢D − 𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 −3 ln 1 𝑥𝑥𝑦𝑦= + ln 1 𝑥𝑥𝑦𝑦= − 1 + ln 1 𝑥𝑥𝑦𝑦= + 1 = ln 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 Solución general Ejemplo 33 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚𝟑𝟑 + 𝟔𝟔𝒙𝒙𝒚𝒚𝟐𝟐 𝒚𝒚´ = 𝟎𝟎 Se puede evidenciar que se trata de una ecuación diferencial no lineal. Desarrollo: Sustitución 𝒚𝒚 = 𝒛𝒛𝜶𝜶 Derivamos con respecto a 𝑥𝑥 𝒅𝒅𝒚𝒚 =∝ 𝒛𝒛∝N𝟏𝟏𝒅𝒅𝒛𝒛 Reemplazamos en la ecuación 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧D› 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝑥𝑥𝑧𝑧=∝ ∝ 𝑧𝑧∝NO𝑑𝑑𝑧𝑧 = 0 Agrupando 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧D› 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝛼𝛼 𝑥𝑥𝑧𝑧D∝NO 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 0 (*) Igualando los exponentes 1 = 3 ∝= 3 ∝ ⇒ 𝛼𝛼 = 1 3 Reemplazamos 𝛼𝛼 en (*) 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 0 Ahora 𝑧𝑧 = 𝑢𝑢𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 ⇒ 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝑥𝑥 + 𝑧𝑧 2𝑥𝑥 ⇒ 𝑢𝑢 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 1 + 𝑢𝑢 2 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑢𝑢 = 𝑧𝑧 𝑥𝑥 50 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Separando las variables e integrando 2 1 + 3𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 3 ln 1 + 3𝑢𝑢 = − ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Solución general 2 3 ln 1 + 3 𝑦𝑦D 𝑑𝑑 = − ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 2.5.1. DIFERENCIAL TOTAL Observamos que la ecuación simple 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 es separable y homogénea; también debe notarse que además es equivalente a la diferencial del producto de 𝑑𝑑 y 𝑦𝑦. Esto es, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 Integrando se obtiene de inmediato la solución implícita 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑐𝑐. Recuérdese que si 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 es una función con derivadas parciales de primer orden continuas en una región 𝑅𝑅 del plano 𝑑𝑑𝑦𝑦, entonces su diferencial total es 𝑑𝑑𝑧𝑧 = fifl fi1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + fifl fi4 𝑑𝑑𝑦𝑦 (2.11) Ahora bien, 𝑓𝑓 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐, de (10) se deduce que fifl fi1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + fifl fi4 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.12) Definición 2.5.1 DIFERENCIAL TOTAL Si , es una función diferenciable en , entonces la diferencial total de 𝑓𝑓 es la función está dado por: (2.10) 51 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Separando las variables e integrando 2 1 + 3𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 = − 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 2 3 ln 1 + 3𝑢𝑢 = − ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Solución general 2 3 ln 1 + 3 𝑦𝑦D 𝑑𝑑 = − ln 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 2.5. ECUACIONES DIFERENCIALES EXACTAS 2.5.1. DIFERENCIAL TOTAL Observamos que la ecuación simple 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 es separable y homogénea; también debe notarse que además es equivalente a la diferencial del producto de 𝑑𝑑 y 𝑦𝑦. Esto es, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 Integrando se obtiene de inmediato la solución implícita 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑐𝑐. Recuérdese que si 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 es una función con derivadas parciales de primer orden continuas en una región 𝑅𝑅 del plano 𝑑𝑑𝑦𝑦, entonces su diferencial total es 𝑑𝑑𝑧𝑧 = fifl fi1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + fifl fi4 𝑑𝑑𝑦𝑦 (2.11) Ahora bien, 𝑓𝑓 𝑑𝑑, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐, de (10) se deduce que fifl fi1 𝑑𝑑𝑑𝑑 + fifl fi4 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.12) Definición 2.5.1 DIFERENCIAL TOTAL Si , es una función diferenciable en , entonces la diferencial total de 𝑓𝑓 es la función está dado por: (2.10) En otras palabras, dada una familia de curvas 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐, es posible generar una ecuación diferencial de primer orden calculando la diferencial total Ejemplo 34 Si 𝑥𝑥= − 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦D = 𝑐𝑐, entonces de (2.12) resulta que 2𝑥𝑥 − 5𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + −5𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 o bien 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 5𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 −5𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦= Es más importante para los fines de este curso invertir el problema, esto es, dada una ecuación como 34 31 = X4N=1 NX1¨D42 (2.13) Puede identificarse la ecuación como equivalente a 𝑑𝑑 𝑥𝑥= − 5𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦D = 0? Nótese que la ecuación (2.13) no es ni separable ni homogénea. 2.5.2. DIFERENCIAL EXACTA Se presentan algunos ejemplos para explicar la diferencial exacta dada en la ecuación (2.14). Definición 2.5.2 DIFERENCIAL EXACTA Una expresión diferencial de la forma 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 Se denomina diferencial exacta en una región 𝑅𝑅 del plano 𝑥𝑥𝑦𝑦 si existe una función continua 𝑓𝑓: 𝐷𝐷 ⊂ 𝑅𝑅= → 𝑅𝑅 tal que 𝑑𝑑𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 (2.14) es decir, toda expresión que es la diferencial total de alguna función de 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 se llama diferencial exacta. (Cornejo Serrano, 2012) 52 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 35 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐𝒅𝒅𝒚𝒚 Es una diferencial exacta, pues se verifica que 𝑑𝑑 O D 𝑥𝑥D𝑦𝑦D = 𝑥𝑥=𝑦𝑦D𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦=𝑑𝑑𝑦𝑦 Ejemplo 36 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒚𝒚 − 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Es una diferencial exacta, pues se verifica que 𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥= Ejemplo 37 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒚𝒚 + 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 Es una diferencial exacta, pues se verifica que 𝑑𝑑 ln (𝑥𝑥𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑦𝑦 El siguiente teorema constituye un criterio para determinar si una diferencial es exacta Teorema 2.5.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA Sean 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) y 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas en una región 𝑅𝑅 del plano 𝑥𝑥𝑦𝑦. Entonces una condición necesaria y suficiente para que 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦=0 sea una diferencial exacta es que cumpla con 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 EJERCICIOS RESUELTOS 53 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 35 𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟑𝟑𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝒚𝒚𝟐𝟐𝒅𝒅𝒚𝒚 Es una diferencial exacta, pues se verifica que 𝑑𝑑 O D 𝑥𝑥D𝑦𝑦D = 𝑥𝑥=𝑦𝑦D𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦=𝑑𝑑𝑦𝑦 Ejemplo 36 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒚𝒚 − 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Es una diferencial exacta, pues se verifica que 𝑑𝑑 𝑦𝑦 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥= Ejemplo 37 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒚𝒚 + 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒙𝒙𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 Es una diferencial exacta, pues se verifica que 𝑑𝑑 ln (𝑥𝑥𝑦𝑦) = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥𝑦𝑦 El siguiente teorema constituye un criterio para determinar si una diferencial es exacta Teorema 2.5.2 ECUACIÓN DIFERENCIAL EXACTA Sean 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) y 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) funciones continuas y con derivadas parciales de primer orden continuas en una región 𝑅𝑅 del plano 𝑥𝑥𝑦𝑦. Entonces una condición necesaria y suficiente para que 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦=0 sea una diferencial exacta es que cumpla con 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 EJERCICIOS RESUELTOS Método de solución Dada la ecuación 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.15) Como (14) es una diferencial exacta, entonces existe una 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 tal que 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∧ 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 (2.16) Reemplazando (2.16) en la ecuación (2.15) se tiene 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.17) Como existe una función continua 𝑧𝑧 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) entonces su diferencial total está dado por 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑧𝑧 (2.18) Igualando las ecuaciones (2.17) y (2.16) se tiene que 𝑑𝑑𝑧𝑧 = 0 ⇒ 𝑧𝑧 = 𝑐𝑐 es decir 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 que representa la solución de la ecuación diferencial. Ahora como 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 (2.19) Así es posible encontrar 𝑓𝑓 integrando 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 con respecto a 𝑥𝑥 mientras se mantiene 𝑦𝑦 constante. 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (2.20) donde la función arbitraria 𝑔𝑔 𝑦𝑦 es la “constante” de integración. Derivando (2.20) con respecto a 𝑦𝑦, además considerando que fifl(1,4) fi4 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔′ 𝑦𝑦 De esto resultan 𝑔𝑔, 𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 − fi fi4 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 integrando obtenemos 𝑔𝑔(𝑦𝑦) la misma que es reemplazada en (2.20) para obtener la solución de la ecuación diferencial exacta. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales exactas. Ejemplo 38 𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 EJERCICIOS RESUELTOS 54 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: Con 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= − 1 tenemos 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 La integración de la diferencial exacta está dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 Derivando parcialmente la última expresión con respecto a 𝑦𝑦 e igualando el resultado a 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 resulta 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= + 𝑔𝑔, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= − 1 Se deduce que 𝑔𝑔, 𝑦𝑦 = −1 → 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = −𝑦𝑦 No es necesario incluir la constante de integración en el renglón precedente ya que la solución es 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐. Algunas curvas de la familia 𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 se dan en la Figura 15. Nota La solución de la ecuación no es 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 𝑦𝑦. Más bien es 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 o bien 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 si se usa una constante al integrar 𝑔𝑔, 𝑦𝑦 . Obsérvese que la ecuación podría haberse resuelto también por separación de variables. y x c = -1 c = 1 c = -1 c = 1 c = 1 c = -1 y = 0 Figura 15. Representación geométrica de la solución de la ecuación diferencial Fuente. Autores 55 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: Con 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦 y 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= − 1 tenemos 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 = 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 La integración de la diferencial exacta está dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 Derivando parcialmente la última expresión con respecto a 𝑦𝑦 e igualando el resultado a 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 resulta 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= + 𝑔𝑔, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= − 1 Se deduce que 𝑔𝑔, 𝑦𝑦 = −1 → 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = −𝑦𝑦 No es necesario incluir la constante de integración en el renglón precedente ya que la solución es 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐. Algunas curvas de la familia 𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 se dan en la Figura 15. Nota La solución de la ecuación no es 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 𝑦𝑦. Más bien es 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 o bien 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 si se usa una constante al integrar 𝑔𝑔, 𝑦𝑦 . Obsérvese que la ecuación podría haberse resuelto también por separación de variables. y x c = -1 c = 1 c = -1 c = 1 c = 1 c = -1 y = 0 Figura 15. Representación geométrica de la solución de la ecuación diferencial Fuente. Autores Ejemplo 39 𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟐𝟐𝒙𝒙𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Desarrollo: La ecuación no es ni separable ni homogénea pero sí es exacta, puesto que 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2𝑒𝑒=4 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑦𝑦 − 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 Por lo tanto, existe una función 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 tal que 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝒆𝒆𝟐𝟐𝟐𝟐 − 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒=4 − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (∗) Derivando con respecto a 𝑦𝑦, además fifl(1,4) fi4 = 𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 entonces se tiene 𝜕𝜕𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑒𝑒=4 − 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑒𝑒=4 − 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 2𝑦𝑦 ⇒ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦= Reemplazando en (*) se tiene 𝑥𝑥𝑒𝑒=4 − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 Ejemplo 40 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒔𝒔 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 sujeta a 𝟐𝟐 𝟎𝟎 = 𝟐𝟐 Desarrollo: La ecuación es exacta puesto que 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 = −2𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 Ahora bien, 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒆𝒆𝒔𝒔 𝒙𝒙 − 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 1 4 cos 2𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (∗) 56 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Derivando con respecto a 𝑦𝑦, además fifl(1,4) fi4 = 𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥= = 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) se tiene 𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥= = −𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⇒ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 1 2 𝑦𝑦= Reemplazando en (*) se tiene 1 4 cos 2𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 1 2 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 (∗∗) La expresión (**) representa la solución general de la ecuación diferencial, ahora aplicaremos las condiciones iniciales del problema para determinar su solución general. La condición inicial 𝑦𝑦 = 2 cuando 𝑥𝑥 = 0 exige que O B cos 0 − 0 + O = 2 = = 𝐶𝐶 o bien que 𝑐𝑐 = · B . De esta manera, una solución del problema es: −𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟗𝟗 Ejemplo 41 𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Desarrollo: ( ) xx yxNxyxN xy yxMx x yyxM 1),(2ln),( ExactaEDO 1),(6),( = ∂ ∂ ⇒−= ∴ = ∂ ∂ ⇒⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += La solución de la ecuación diferencial está dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) donde 𝑔𝑔(𝑦𝑦) es una función por determinar )(3ln),( )(6),( 2 ygxxyyxf ygdxx x yyxf ++= +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ∫ Derivamos con respecto a 𝑦𝑦 consideramos que fifl(1,4) fi4 = 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) tenemos )´(ln2ln ygxx +=− Integrando con respecto a 𝑦𝑦 ∫ ∫=− )('2 ygdy 57 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Derivando con respecto a 𝑦𝑦, además fifl(1,4) fi4 = 𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥= = 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) se tiene 𝑦𝑦 1 − 𝑥𝑥= = −𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ⇒ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 1 2 𝑦𝑦= Reemplazando en (*) se tiene 1 4 cos 2𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 1 2 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 (∗∗) La expresión (**) representa la solución general de la ecuación diferencial, ahora aplicaremos las condiciones iniciales del problema para determinar su solución general. La condición inicial 𝑦𝑦 = 2 cuando 𝑥𝑥 = 0 exige que O B cos 0 − 0 + O = 2 = = 𝐶𝐶 o bien que 𝑐𝑐 = · B . De esta manera, una solución del problema es: −𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐 𝟏𝟏 − 𝒙𝒙𝟐𝟐 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝟐𝟐𝒙𝒙 = 𝟗𝟗 Ejemplo 41 𝟐𝟐 𝒙𝒙 + 𝟔𝟔𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝐥𝐥𝐥𝐥 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 𝒅𝒅𝟐𝟐 = 𝟎𝟎 Desarrollo: ( ) xx yxNxyxN xy yxMx x yyxM 1),(2ln),( ExactaEDO 1),(6),( = ∂ ∂ ⇒−= ∴ = ∂ ∂ ⇒⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += La solución de la ecuación diferencial está dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) donde 𝑔𝑔(𝑦𝑦) es una función por determinar )(3ln),( )(6),( 2 ygxxyyxf ygdxx x yyxf ++= +⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ += ∫ Derivamos con respecto a 𝑦𝑦 consideramos que fifl(1,4) fi4 = 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) tenemos )´(ln2ln ygxx +=− Integrando con respecto a 𝑦𝑦 ∫ ∫=− )('2 ygdy )(2 ygy =− yx 23xlnyc 2 −+=∴ Ejemplo 42 𝒆𝒆𝒙𝒙𝒔𝒔𝒆𝒆𝒔𝒔 𝒚𝒚 − 𝟐𝟐𝒚𝒚 𝒔𝒔𝒆𝒆𝒔𝒔(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒆𝒆𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒚𝒚 + 𝟐𝟐 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔(𝒙𝒙) 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 Desarrollo: ( ))(2)(),( xsenyyseneyxM x −= ⇒ )(2)cos(),( xsenye y yxM x −= ∂ ∂ ∴ EDO Exacta ( ))cos(2)cos(),( xyeyxN x += ⇒ )(2)cos(),( xsenye x yxN x −= ∂ ∂ La solución de la ecuación diferencial está dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) donde 𝑔𝑔(𝑦𝑦) es una función por determinar ( )∫ +−= )()(2)(),( ygdxxsenyyseneyxf x )()cos(2)(),( ygxyyseneyxf x ++= Derivando con respecto a 𝒚𝒚 )(')cos(2)cos(),( ygxye y yxf x ++= ∂ ∂ Como ),(),( yxN y yxf = ∂ ∂ ; reemplazamos )(')cos(2)cos()cos(2)cos( ygxyexye xx ++=+ luego 0)(' =yg integrando con respecto a 𝑦𝑦 ctedonde)( == kkyg kxysenyec x ++= cos2 𝑘𝑘 y 𝑐𝑐 son constantes ∴ xysenyec x cos2+= Solución general 58 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 43 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒚𝒚 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 Desarrollo: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= x xysenysenyxM 1)()(),( ⇒ )()cos(),( xseny y yxM −= ∂ ∂ ∴ EDO Exacta ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++= y xyxyxN 1)cos()cos(),( ⇒ )()cos(),( xseny x yxN −= ∂ ∂ La solución de la ecuación diferencial está dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) donde 𝑔𝑔(𝑦𝑦) es una función por determinar ∫ +⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= )(1)()(),( ygdx x xysenysenyxf )(ln)cos()(),( ygxxyyxsenyxf +++= (***) Derivando con respecto a 𝒚𝒚 )(')cos()cos(),( ygxyx y yxf ++= ∂ ∂ Como ),(),( yxN y yxf = ∂ ∂ ; reemplazamos )(')cos()cos(1)cos()cos( ygxyx y xyx ++=++ Integrando con respecto a 𝑦𝑦 ∫ ∫= )(' 1 ygdy y )(ln ygy = Se ha determinado la función desconocida que remplazamos en (***) ∴ yxxyyxsenc lnln)cos()( +++= Solución general 59 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 43 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒚𝒚 − 𝒚𝒚 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒚𝒚 + 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒔𝒔 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 Desarrollo: ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= x xysenysenyxM 1)()(),( ⇒ )()cos(),( xseny y yxM −= ∂ ∂ ∴ EDO Exacta ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ++= y xyxyxN 1)cos()cos(),( ⇒ )()cos(),( xseny x yxN −= ∂ ∂ La solución de la ecuación diferencial está dada por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) donde 𝑔𝑔(𝑦𝑦) es una función por determinar ∫ +⎟⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ +−= )(1)()(),( ygdx x xysenysenyxf )(ln)cos()(),( ygxxyyxsenyxf +++= (***) Derivando con respecto a 𝒚𝒚 )(')cos()cos(),( ygxyx y yxf ++= ∂ ∂ Como ),(),( yxN y yxf = ∂ ∂ ; reemplazamos )(')cos()cos(1)cos()cos( ygxyx y xyx ++=++ Integrando con respecto a 𝑦𝑦 ∫ ∫= )(' 1 ygdy y )(ln ygy = Se ha determinado la función desconocida que remplazamos en (***) ∴ yxxyyxsenc lnln)cos()( +++= Solución general Ejercicios 2.5 En los problemas del 1-10 determine si la función dada es exacta. Si lo es, resuélvala 1. 2𝑥𝑥 + 4 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑦𝑦 − 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 6. 2𝑦𝑦 − O 1 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 3𝑥𝑥 34 31 + 4 12 − 4𝑥𝑥D + 3𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 3𝑥𝑥 = 0 2. 2𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 7. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 3. 5𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥 − 8𝑦𝑦D 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 8. 1 + 𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 4 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 − 𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 4. 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 9. 𝑦𝑦D − 𝑦𝑦=𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦= + 2𝑦𝑦 cos 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 5. 2𝑦𝑦=𝑥𝑥 − 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦𝑥𝑥= + 4 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 10. 𝑥𝑥D + 𝑦𝑦D 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 En los problemas del 11 – 15 resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición inicial que se indica 11. 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 =𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥= − 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 1 = 1 12. 𝑠𝑠1 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2 + 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑠𝑠4 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 0 = 1 13. 4𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥 − 5 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 + 4𝑥𝑥 − 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 −1 = 2 14. D4 2N12 4„ 34 31 + 1 =4b = 0, 𝑦𝑦 1 = 1 15. 𝑦𝑦=cos (𝑥𝑥) − 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥D + 𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 𝑦𝑦 0 = 𝑠𝑠 En los problemas del 16 – 19 halle el valor de 𝑘𝑘 de modo que la ecuación diferencial dada sea exacta. 16. 𝑦𝑦D + 𝑘𝑘𝑥𝑥𝑦𝑦B − 2𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥𝑦𝑦= + 20𝑥𝑥=𝑦𝑦D 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 17. 2𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦) + 𝑘𝑘𝑦𝑦B 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 20𝑥𝑥𝑦𝑦D + 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 18. 2𝑥𝑥𝑦𝑦= + 𝑦𝑦𝑠𝑠1 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 𝑘𝑘𝑠𝑠1 − 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 19. 6𝑥𝑥𝑦𝑦D + cos (𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑘𝑘𝑥𝑥=𝑦𝑦= − 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0, 2.6. FACTOR INTEGRANTE De acuerdo al desarrollo de la temática en lo relacionado a los métodos clásicos de solución de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, hemos estudiado el cómo identificar y resolver una ecuación diferencial exacta, pero ¿qué sucede cuando no se cumple la condición de diferencial exacta 60 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN de una función?, ante este cuestionamiento surge lo que se denomina factor integrante, que representa una función real continua y diferenciable en alguna región de R, tal que permite resolver la ecuación diferencial. Nota: No siempre es fácil determinar el factor integrante, pero en los casos prácticos este factor generalmente depende de las variables independientes como se verá al resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. Lo mencionado anteriormente ilustramos en el siguiente ejemplo. Resolver la ecuación diferencial dada por 1 − 𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥= 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗) Donde 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 1 − 𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 ⇒ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = −𝑥𝑥= 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 = −3𝑥𝑥= + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 Determina diferenciales parciales distintas ∴ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 ≠ 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 Por lo tanto, no representa una ecuación diferencial exacta, pero si a la ecuación (*) lo multiplicamos por O 12 Conseguiremos transformarlo es una ecuación diferencial exacta; es decir, tendríamos la ecuación dada por 1 𝑥𝑥= − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) Donde 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 1 𝑥𝑥= − 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 ⇒ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = −1 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 = −1 ∴ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 Es decir, representa una ecuación diferencial exacta la misma que puede ser resuelta aplicando la técnica estudiada en el párrafo 2.5. Como hemos evidenciado se podrá tratar de conseguir una función 𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 0 que convierta una ecuación diferencial no exacta en una exacta, donde al término 𝑢𝑢 𝑥𝑥 se denomina FACTOR INTEGRANTE. Demostración.- Si la función 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 es un factor integrante de la ecuación diferencial 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.21) entonces 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.22) representa una ecuación diferencial ordinaria exacta; es decir, se cumple 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 De donde se deduce que 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 + 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝟐𝟐) Nota: Para determinar un factor integrante para la ecuación diferencial (2.21), es necesario determinar una solución particular de la ecuación (2.23). Examinemos algunos casos mediante los cuales podremos determinar un factor integrante para una ecuación diferencial no exacta. Definición 2.6.1 FACTOR INTEGRANTE Dada una ecuación diferencial 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (21) Donde 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∧ 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) son funciones continuas en algún 𝐼𝐼 ⊂ ℝ=, siendo (2.21) una ecuación diferencial no exacta, entonces existe una función 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 continua y sin ceros en 𝐼𝐼 ⊂ ℝ=, tal que 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)[𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦] = 0 (22) Constituye una ecuación diferencial exacta. 61 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN de una función?, ante este cuestionamiento surge lo que se denomina factor integrante, que representa una función real continua y diferenciable en alguna región de R, tal que permite resolver la ecuación diferencial. Nota: No siempre es fácil determinar el factor integrante, pero en los casos prácticos este factor generalmente depende de las variables independientes como se verá al resolver ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de primer orden. Lo mencionado anteriormente ilustramos en el siguiente ejemplo. Resolver la ecuación diferencial dada por 1 − 𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥= 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗) Donde 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 1 − 𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 ⇒ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = −𝑥𝑥= 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 = −3𝑥𝑥= + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 Determina diferenciales parciales distintas ∴ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 ≠ 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 Por lo tanto, no representa una ecuación diferencial exacta, pero si a la ecuación (*) lo multiplicamos por O 12 Conseguiremos transformarlo es una ecuación diferencial exacta; es decir, tendríamos la ecuación dada por 1 𝑥𝑥= − 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) Donde 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 1 𝑥𝑥= − 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥 ⇒ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = −1 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 = −1 ∴ 𝜕𝜕𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝜕𝜕𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑥𝑥 Es decir, representa una ecuación diferencial exacta la misma que puede ser resuelta aplicando la técnica estudiada en el párrafo 2.5. Como hemos evidenciado se podrá tratar de conseguir una función 𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 0 que convierta una ecuación diferencial no exacta en una exacta, donde al término 𝑢𝑢 𝑥𝑥 se denomina FACTOR INTEGRANTE. Demostración.- Si la función 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 0 es un factor integrante de la ecuación diferencial 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.21) entonces 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (2.22) representa una ecuación diferencial ordinaria exacta; es decir, se cumple 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 De donde se deduce que 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 + 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (𝟐𝟐. 𝟐𝟐𝟐𝟐) Nota: Para determinar un factor integrante para la ecuación diferencial (2.21), es necesario determinar una solución particular de la ecuación (2.23). Examinemos algunos casos mediante los cuales podremos determinar un factor integrante para una ecuación diferencial no exacta. Definición 2.6.1 FACTOR INTEGRANTE Dada una ecuación diferencial 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (21) Donde 𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∧ 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) son funciones continuas en algún 𝐼𝐼 ⊂ ℝ=, siendo (2.21) una ecuación diferencial no exacta, entonces existe una función 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 0 continua y sin ceros en 𝐼𝐼 ⊂ ℝ=, tal que 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)[𝑀𝑀(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑁𝑁(𝑥𝑥, 𝑦𝑦)𝑑𝑑𝑦𝑦] = 0 (22) Constituye una ecuación diferencial exacta. 62 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 44 Si 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 depende únicamente de la variable independiente 𝒙𝒙; es decir, 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) Entonces la ecuación (22) 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 Se transforma en −𝑁𝑁𝑁𝑁´ 𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 Que es equivalente a 𝑁𝑁´(𝑥𝑥) 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑁𝑁 De donde 𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝛽𝛽) Representa el factor integrante de la ecuación diferencial (2.21), tomando en cuenta que el lado derecho de la ecuación (𝛽𝛽) depende únicamente de 𝑥𝑥. Ejemplo 45 Resolver 𝑥𝑥𝜕𝜕 − 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥= − 𝑥𝑥𝜕𝜕 𝑑𝑑𝜕𝜕 = 0 (∗) Solución: ∂M ∂y = x ∂N ∂x = 2x − y Como ÎÏ ÎÌ ≠ ÎÓ ÎÔ debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos ∂M ∂y − ∂N ∂x N = x − 2x + y x= − xy = −(x − y) x(x − y) Reduciendo términos semejantes ∂M ∂y − ∂N ∂x N = − 1 x Podemos ver que el factor integrante depende únicamente de 𝑥𝑥, entonces 𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 − 1 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde obtenemos el factor integrante u x = − 1 x Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos − 1 x xy − 1 dx − 1 x x= − xy dy = 0 equivalente a 1 x − y dx + y − x dy = 0 (∗∗) donde ∂M ∂y = −1 ∂N ∂x = −1 Como ÎÏ ÎÌ = ÎÓ ÎÔ entonces la ecuación diferencial (**) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene f x, y = M x, y dx + g(y) f x, y = 1 x − y dx + g(y) f x, y = ln x − yx + g y (∗∗∗) Ésta última expresión la derivamos con respecto a y; además consideramos que ∂f(x, y) ∂y = N(x, y) Entonces tenemos y − x = −x + g´(y) 63 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 44 Si 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 depende únicamente de la variable independiente 𝒙𝒙; es decir, 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒙𝒙) Entonces la ecuación (22) 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 Se transforma en −𝑁𝑁𝑁𝑁´ 𝑥𝑥 + 𝑁𝑁 𝑥𝑥 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 Que es equivalente a 𝑁𝑁´(𝑥𝑥) 𝑁𝑁(𝑥𝑥) = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑁𝑁 De donde 𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 𝑁𝑁 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝑁𝑁 𝑑𝑑𝑥𝑥 (𝛽𝛽) Representa el factor integrante de la ecuación diferencial (2.21), tomando en cuenta que el lado derecho de la ecuación (𝛽𝛽) depende únicamente de 𝑥𝑥. Ejemplo 45 Resolver 𝑥𝑥𝜕𝜕 − 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥= − 𝑥𝑥𝜕𝜕 𝑑𝑑𝜕𝜕 = 0 (∗) Solución: ∂M ∂y = x ∂N ∂x = 2x − y Como ÎÏ ÎÌ ≠ ÎÓ ÎÔ debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos ∂M ∂y − ∂N ∂x N = x − 2x + y x= − xy = −(x − y) x(x − y) Reduciendo términos semejantes ∂M ∂y − ∂N ∂x N = − 1 x Podemos ver que el factor integrante depende únicamente de 𝑥𝑥, entonces 𝑢𝑢 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒𝑥𝑥𝑒𝑒 − 1 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde obtenemos el factor integrante u x = − 1 x Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos − 1 x xy − 1 dx − 1 x x= − xy dy = 0 equivalente a 1 x − y dx + y − x dy = 0 (∗∗) donde ∂M ∂y = −1 ∂N ∂x = −1 Como ÎÏ ÎÌ = ÎÓ ÎÔ entonces la ecuación diferencial (**) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene f x, y = M x, y dx + g(y) f x, y = 1 x − y dx + g(y) f x, y = ln x − yx + g y (∗∗∗) Ésta última expresión la derivamos con respecto a y; además consideramos que ∂f(x, y) ∂y = N(x, y) Entonces tenemos y − x = −x + g´(y) 64 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN De donde g´ y = y ≫≫ g y = 1 2 y= Reemplazando en la ecuación (∗∗∗), obtemos la solución general dado por ln x − yx + 1 2 y= = C Ejemplo 46 Si 𝐮𝐮 𝐱𝐱, 𝐲𝐲 = 𝟎𝟎 depende únicamente de la función incógnita 𝐲𝐲; es decir, u x, y = f(y) Entonces la ecuación (2.23) M x, y ∂u(x, y) ∂y − N x, y ∂u x, y ∂x + u x, y ∂M x, y ∂y − ∂N x, y ∂x = 0 Se transforma en Mf´ y + f y ∂M ∂y − ∂N ∂x = 0 Que es equivalente a f´(y) f(y) = ∂M ∂y − ∂N ∂x −M De donde u y = f y = exp ∂M ∂y − ∂N ∂x −M dy (β) Representa el factor integrante de la ecuación diferencial (2.21), tomando en cuenta que el lado derecho de la ecuación (β) depende únicamente de y. Ejemplo 47 Resolver 2xy= + 2xy + 3x=y dx + 3x=y + 2x= + 2xD dy = 0 (∗) Solución: ∂M ∂y = 4xy + 2x + 3x= ∂N ∂x = 6xy + 4x + 6x= Como ÎÏ ÎÌ ≠ ÎÓ ÎÔ debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos ∂M ∂y − ∂N ∂x −M = 4xy + 2x + 3x= − 6xy + 4x + 6x= − 2xy= + 2xy + 3x=y = x (2y + 2 + 3x) y[x 2y + 2 + 3x ] Reduciendo términos semejantes ∂M ∂y − ∂N ∂x −M = 1 y Podemos ver que el factor integrante depende únicamente de y, entonces u y = f y = exp 1 y dy De donde obtenemos el factor integrante u y = y Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos 𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥= + 2𝑥𝑥D 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 equivalente a 2𝑥𝑥𝑦𝑦D + 2𝑥𝑥𝑦𝑦= + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥D𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦= + 4𝑥𝑥𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦= + 4𝑥𝑥𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥=𝑦𝑦 Como fiˆ fi4 = fi˜ fi1 entonces la ecuación diferencial (**) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦D + 2𝑥𝑥𝑦𝑦= + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥=𝑦𝑦D + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 𝑥𝑥D𝑦𝑦= + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (∗∗∗) 65 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN De donde g´ y = y ≫≫ g y = 1 2 y= Reemplazando en la ecuación (∗∗∗), obtemos la solución general dado por ln x − yx + 1 2 y= = C Ejemplo 46 Si 𝐮𝐮 𝐱𝐱, 𝐲𝐲 = 𝟎𝟎 depende únicamente de la función incógnita 𝐲𝐲; es decir, u x, y = f(y) Entonces la ecuación (2.23) M x, y ∂u(x, y) ∂y − N x, y ∂u x, y ∂x + u x, y ∂M x, y ∂y − ∂N x, y ∂x = 0 Se transforma en Mf´ y + f y ∂M ∂y − ∂N ∂x = 0 Que es equivalente a f´(y) f(y) = ∂M ∂y − ∂N ∂x −M De donde u y = f y = exp ∂M ∂y − ∂N ∂x −M dy (β) Representa el factor integrante de la ecuación diferencial (2.21), tomando en cuenta que el lado derecho de la ecuación (β) depende únicamente de y. Ejemplo 47 Resolver 2xy= + 2xy + 3x=y dx + 3x=y + 2x= + 2xD dy = 0 (∗) Solución: ∂M ∂y = 4xy + 2x + 3x= ∂N ∂x = 6xy + 4x + 6x= Como ÎÏ ÎÌ ≠ ÎÓ ÎÔ debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos ∂M ∂y − ∂N ∂x −M = 4xy + 2x + 3x= − 6xy + 4x + 6x= − 2xy= + 2xy + 3x=y = x (2y + 2 + 3x) y[x 2y + 2 + 3x ] Reduciendo términos semejantes ∂M ∂y − ∂N ∂x −M = 1 y Podemos ver que el factor integrante depende únicamente de y, entonces u y = f y = exp 1 y dy De donde obtenemos el factor integrante u y = y Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos 𝑦𝑦 2𝑥𝑥𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥= + 2𝑥𝑥D 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 equivalente a 2𝑥𝑥𝑦𝑦D + 2𝑥𝑥𝑦𝑦= + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥D𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦= + 4𝑥𝑥𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦= + 4𝑥𝑥𝑦𝑦 + 6𝑥𝑥=𝑦𝑦 Como fiˆ fi4 = fi˜ fi1 entonces la ecuación diferencial (**) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥𝑦𝑦D + 2𝑥𝑥𝑦𝑦= + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥=𝑦𝑦D + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 𝑥𝑥D𝑦𝑦= + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (∗∗∗) 66 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝑵𝑵(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) Entonces tenemos 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥D𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥D𝑦𝑦 + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 con 𝑘𝑘 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (∗∗∗), obtemos la solución general dado por 𝑥𝑥=𝑦𝑦D + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 𝑥𝑥D𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 Ejemplo 48 Si 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 depende del producto de dos funciones, una que depende de 𝒙𝒙, y otra que depende de 𝒚𝒚; es decir, 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝝏𝝏 𝒙𝒙 ∗ 𝒈𝒈(𝒚𝒚) Entonces la ecuación (23) 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 Se transforma en 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 − 𝑁𝑁𝑀𝑀, 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑦𝑦 + 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 Que es equivalente a 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝝏𝝏´ 𝒙𝒙 𝝏𝝏 𝒙𝒙 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 − 𝒈𝒈´ 𝒚𝒚 𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 (𝜷𝜷) De donde el factor integrante será determinado a partir de la ecuación (𝜷𝜷), donde debemos identificar a las funciones 𝑀𝑀(𝑥𝑥) y 𝑔𝑔(𝑦𝑦) que en la mayoría de los casos resultan fáciles determinar. Ejemplo 49 Resolver ß®I(4) 4 − 2𝑒𝑒N1𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + n˙ß 4 ¨= ®˚¸ ˝˛ˇ(1) 4 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗) Solución: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑦𝑦2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = − 2 𝑦𝑦 𝑒𝑒−𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 𝑒𝑒−𝑥𝑥 sen 𝑥𝑥 Como 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 ≠ 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos el factor integrante de la forma 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙 ∗ 𝒈𝒈(𝒚𝒚) De donde se tiene 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 − 𝒈𝒈´ 𝒚𝒚 𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 (𝜷𝜷) Reemplazando en (𝜷𝜷) tenemos − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑦𝑦= + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − − 2 𝑦𝑦 𝑠𝑠N1 cos 𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 𝑠𝑠N1 sen 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓´ 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 − 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 𝑔𝑔 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) Que es equivalente a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 − 1 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 − 𝒈𝒈´ 𝒚𝒚 𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) De esta última ecuación se puede deducir que 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 𝑦𝑦 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) 𝑔𝑔(𝑦𝑦) = 1 𝑦𝑦 De donde 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐O𝑠𝑠1 𝑦𝑦 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐=𝑦𝑦 Asignando a 𝑐𝑐O = 𝑐𝑐= = 1 tenemos el factor integrante 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝒆𝒆𝒙𝒙 Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos 𝒚𝒚𝒆𝒆𝒙𝒙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝒚𝒚𝒆𝒆𝒙𝒙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 equivalente a 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 cos(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 67 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝑵𝑵(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) Entonces tenemos 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥D𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 2𝑥𝑥D𝑦𝑦 + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 con 𝑘𝑘 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (∗∗∗), obtemos la solución general dado por 𝑥𝑥=𝑦𝑦D + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 𝑥𝑥D𝑦𝑦= = 𝐶𝐶 Ejemplo 48 Si 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 depende del producto de dos funciones, una que depende de 𝒙𝒙, y otra que depende de 𝒚𝒚; es decir, 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝝏𝝏 𝒙𝒙 ∗ 𝒈𝒈(𝒚𝒚) Entonces la ecuación (23) 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 + 𝜕𝜕 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 Se transforma en 𝑀𝑀𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 − 𝑁𝑁𝑀𝑀, 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑦𝑦 + 𝑀𝑀 𝑥𝑥 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝜕𝜕𝑀𝑀 𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝜕𝜕𝑁𝑁 𝜕𝜕𝑥𝑥 = 0 Que es equivalente a 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝝏𝝏´ 𝒙𝒙 𝝏𝝏 𝒙𝒙 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 − 𝒈𝒈´ 𝒚𝒚 𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 (𝜷𝜷) De donde el factor integrante será determinado a partir de la ecuación (𝜷𝜷), donde debemos identificar a las funciones 𝑀𝑀(𝑥𝑥) y 𝑔𝑔(𝑦𝑦) que en la mayoría de los casos resultan fáciles determinar. Ejemplo 49 Resolver ß®I(4) 4 − 2𝑒𝑒N1𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + n˙ß 4 ¨= ®˚¸ ˝˛ˇ(1) 4 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗) Solución: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = − 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑦𝑦2 + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = − 2 𝑦𝑦 𝑒𝑒−𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 𝑒𝑒−𝑥𝑥 sen 𝑥𝑥 Como 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 ≠ 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos el factor integrante de la forma 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇 𝒙𝒙 ∗ 𝒈𝒈(𝒚𝒚) De donde se tiene 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 − 𝒈𝒈´ 𝒚𝒚 𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝝏𝝏 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 (𝜷𝜷) Reemplazando en (𝜷𝜷) tenemos − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 𝑦𝑦= + 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − − 2 𝑦𝑦 𝑠𝑠N1 cos 𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 𝑠𝑠N1 sen 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓´ 𝑥𝑥 𝑓𝑓 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 − 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 𝑔𝑔 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) Que es equivalente a 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 − 1 𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝒇𝒇´ 𝒙𝒙 𝒇𝒇 𝒙𝒙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 − 𝒈𝒈´ 𝒚𝒚 𝒈𝒈 𝒚𝒚 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) De esta última ecuación se puede deducir que 𝑓𝑓´(𝑥𝑥) 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 1 𝑦𝑦 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) 𝑔𝑔(𝑦𝑦) = 1 𝑦𝑦 De donde 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐O𝑠𝑠1 𝑦𝑦 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐=𝑦𝑦 Asignando a 𝑐𝑐O = 𝑐𝑐= = 1 tenemos el factor integrante 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒚𝒚𝒆𝒆𝒙𝒙 Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos 𝒚𝒚𝒆𝒆𝒙𝒙 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑦𝑦 − 2𝑠𝑠N1𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝒚𝒚𝒆𝒆𝒙𝒙 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 𝑠𝑠N1 cos(𝑥𝑥) 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 equivalente a 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 cos(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑦𝑦) − 2 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 68 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Como fiˆ fi4 = fi˜ fi1 entonces la ecuación diferencial (**) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (∗∗∗) Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝑵𝑵(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) Entonces tenemos 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 cos(𝑥𝑥) = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 cos(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde simplificando tenemos 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 con 𝑐𝑐 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (∗∗∗), obtemos la solución general dado por 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 La forma alternativa al método presentado anteriormente consiste en considerar al factor integrante como 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥!𝑦𝑦I con 𝑚𝑚, 𝑠𝑠 ∈ ℝ. Ejemplo 49 Resolver 3𝑥𝑥𝑦𝑦= − 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗) Solución: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦 − 4 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 3 − 8𝑥𝑥𝑦𝑦 Como 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 ≠ 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos el factor integrante de la forma 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 FORMA ALTERNATIVA DE RESOLVER UNA EDO CON FACTOR INTEGRANTE 𝒖𝒖(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) = 𝝏𝝏(𝒙𝒙) ∗ 𝒈𝒈(𝒚𝒚) Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) De donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝟑𝟑𝒏𝒏 + 𝟔𝟔 𝒙𝒙𝒎𝒎¨𝟏𝟏𝒚𝒚𝒏𝒏¨𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝒏𝒏 + 𝟒𝟒 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝒎𝒎+ 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 − 𝟒𝟒𝒎𝒎+ 𝟖𝟖 𝒙𝒙𝒎𝒎¨𝟏𝟏𝒚𝒚𝒏𝒏¨𝟏𝟏 Luego 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 para que la ecuación diferencial dada sea exacta, es decir igualando las derivadas parciales se obtiene 3𝑛𝑛 + 6 = −4𝑚𝑚 − 8 −4𝑛𝑛 − 4 = 3𝑚𝑚 + 3 ⇒ 3𝑛𝑛 + 4𝑚𝑚 = −14 4𝑛𝑛 + 3𝑚𝑚 = −7 Resolviendo se tiene que 𝑛𝑛 = 2 y 𝑚𝑚 = −5 por lo tanto el factor integrante está dado por 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥NX𝑦𝑦= Reemplazando 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) en la ecuación (**), entonces tenemos 𝑥𝑥NX𝑦𝑦= 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥NX𝑦𝑦= 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 Luego 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦4 − 4𝑥𝑥−5𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥−3𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗∗) donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 12𝑥𝑥−4𝑦𝑦3 − 12𝑥𝑥−5𝑦𝑦2 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 12𝑥𝑥−4𝑦𝑦3 − 12𝑥𝑥−5𝑦𝑦2 Como fiˆ fi4 = fi˜ fi1 entonces la ecuación diferencial (***) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦4 − 4𝑥𝑥−5𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥ND𝑦𝑦B + 𝑥𝑥NB𝑦𝑦D + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (α) Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 69 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Como fiˆ fi4 = fi˜ fi1 entonces la ecuación diferencial (**) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 − 2𝑦𝑦 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (∗∗∗) Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝑵𝑵(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) Entonces tenemos 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 cos(𝑥𝑥) = 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2 cos(𝑥𝑥) + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde simplificando tenemos 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 con 𝑐𝑐 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (∗∗∗), obtemos la solución general dado por 𝒆𝒆𝒙𝒙𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑦𝑦 + 2𝑦𝑦 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑠𝑠(𝑥𝑥) = 𝐶𝐶 La forma alternativa al método presentado anteriormente consiste en considerar al factor integrante como 𝑢𝑢 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥!𝑦𝑦I con 𝑚𝑚, 𝑠𝑠 ∈ ℝ. Ejemplo 49 Resolver 3𝑥𝑥𝑦𝑦= − 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗) Solución: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 6𝑥𝑥𝑦𝑦 − 4 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 3 − 8𝑥𝑥𝑦𝑦 Como 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 ≠ 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Determinamos el factor integrante de la forma 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 FORMA ALTERNATIVA DE RESOLVER UNA EDO CON FACTOR INTEGRANTE 𝒖𝒖(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) = 𝝏𝝏(𝒙𝒙) ∗ 𝒈𝒈(𝒚𝒚) Ahora multiplicamos el factor integrante en la ecuación original (∗) y tenemos 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗) De donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝟑𝟑𝒏𝒏 + 𝟔𝟔 𝒙𝒙𝒎𝒎¨𝟏𝟏𝒚𝒚𝒏𝒏¨𝟏𝟏 − 𝟒𝟒𝒏𝒏 + 𝟒𝟒 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟑𝟑𝒎𝒎+ 𝟑𝟑 𝒙𝒙𝒎𝒎𝒚𝒚𝒏𝒏 − 𝟒𝟒𝒎𝒎+ 𝟖𝟖 𝒙𝒙𝒎𝒎¨𝟏𝟏𝒚𝒚𝒏𝒏¨𝟏𝟏 Luego 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 para que la ecuación diferencial dada sea exacta, es decir igualando las derivadas parciales se obtiene 3𝑛𝑛 + 6 = −4𝑚𝑚 − 8 −4𝑛𝑛 − 4 = 3𝑚𝑚 + 3 ⇒ 3𝑛𝑛 + 4𝑚𝑚 = −14 4𝑛𝑛 + 3𝑚𝑚 = −7 Resolviendo se tiene que 𝑛𝑛 = 2 y 𝑚𝑚 = −5 por lo tanto el factor integrante está dado por 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥NX𝑦𝑦= Reemplazando 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) en la ecuación (**), entonces tenemos 𝑥𝑥NX𝑦𝑦= 3𝑥𝑥𝑦𝑦2 − 4𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥NX𝑦𝑦= 3𝑥𝑥 − 4𝑥𝑥2𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 Luego 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦4 − 4𝑥𝑥−5𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥−3𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 (∗∗∗) donde 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 12𝑥𝑥−4𝑦𝑦3 − 12𝑥𝑥−5𝑦𝑦2 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 12𝑥𝑥−4𝑦𝑦3 − 12𝑥𝑥−5𝑦𝑦2 Como fiˆ fi4 = fi˜ fi1 entonces la ecuación diferencial (***) es exacta, aplicando el procedimiento estudiado anteriormente, se tiene 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦4 − 4𝑥𝑥−5𝑦𝑦3 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥ND𝑦𝑦B + 𝑥𝑥NB𝑦𝑦D + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (α) Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 70 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Entonces tenemos 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥−3𝑦𝑦3 = 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥−3𝑦𝑦3 + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde simplificando tenemos 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 con 𝑘𝑘 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (α), obtemos la solución general dado por −𝑥𝑥ND𝑦𝑦B + 𝑥𝑥NB𝑦𝑦D = 𝐶𝐶 Ejemplo 50 Resolver la siguiente ecuación diferencial: 𝟔𝟔𝟔𝟔 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟖𝟖𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟔𝟔 𝒅𝒅𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 (𝟏𝟏) Solución: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟔𝟔 = 6+ 2𝑥𝑥2𝑦𝑦 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 8 + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦 Se plantea para verificar si el factor integrante se encuentra con respecto a “𝑥𝑥” o “𝑦𝑦” Dependiente de “x” 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟔𝟔 − 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 𝝏𝝏 = 6 + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 8 − 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦 = − 2 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦 Dependiente de “y” 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 − 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟔𝟔 𝝏𝝏 = 8 + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 6 − 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= = 2 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= Como el factor integrante no se encuentra con respecto ni a “𝑥𝑥” ni a “𝑦𝑦” entonces aplicamos el factor integrante: 𝒙𝒙𝒏𝒏𝟔𝟔𝒎𝒎 la cual multiplicamos en la ecuación diferencial (1). 𝑥𝑥I𝑦𝑦! 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥I𝑦𝑦! 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 71 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Entonces tenemos 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥−3𝑦𝑦3 = 3𝑥𝑥−4𝑦𝑦2 − 4𝑥𝑥−3𝑦𝑦3 + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde simplificando tenemos 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 con 𝑘𝑘 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (α), obtemos la solución general dado por −𝑥𝑥ND𝑦𝑦B + 𝑥𝑥NB𝑦𝑦D = 𝐶𝐶 Ejemplo 50 Resolver la siguiente ecuación diferencial: 𝟔𝟔𝟔𝟔 + 𝒙𝒙𝟐𝟐𝟔𝟔𝟐𝟐 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟖𝟖𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟑𝟑𝟔𝟔 𝒅𝒅𝟔𝟔 = 𝟎𝟎 (𝟏𝟏) Solución: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟔𝟔 = 6+ 2𝑥𝑥2𝑦𝑦 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 8 + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦 Se plantea para verificar si el factor integrante se encuentra con respecto a “𝑥𝑥” o “𝑦𝑦” Dependiente de “x” 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟔𝟔 − 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 𝝏𝝏 = 6 + 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 8 − 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦 = − 2 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦 Dependiente de “y” 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝒙𝒙 − 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟔𝟔 𝝏𝝏 = 8 + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 − 6 − 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= = 2 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= Como el factor integrante no se encuentra con respecto ni a “𝑥𝑥” ni a “𝑦𝑦” entonces aplicamos el factor integrante: 𝒙𝒙𝒏𝒏𝟔𝟔𝒎𝒎 la cual multiplicamos en la ecuación diferencial (1). 𝑥𝑥I𝑦𝑦! 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥I𝑦𝑦! 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 Cuyas derivadas parciales son: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑚𝑚𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚−1 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥2𝑦𝑦2 + 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚(6 + 2𝑥𝑥2𝑦𝑦) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 6𝑚𝑚𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚 +𝑚𝑚𝑥𝑥𝑛𝑛+2𝑦𝑦𝑚𝑚+1 + 6𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚 + 2𝑥𝑥𝑛𝑛+2𝑦𝑦𝑚𝑚+1 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 6𝑚𝑚+ 6 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚 + (𝑚𝑚+ 2)𝑥𝑥𝑛𝑛+2𝑦𝑦𝑚𝑚+1 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛−1𝑦𝑦𝑚𝑚 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥3𝑦𝑦 + 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚(8 + 3𝑥𝑥2𝑦𝑦) 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 8𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚 + 𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛+2𝑦𝑦𝑚𝑚+1 + 8𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚 + 3𝑥𝑥𝑛𝑛+2𝑦𝑦𝑚𝑚+1 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = (8𝑛𝑛 + 8)𝑥𝑥𝑛𝑛𝑦𝑦𝑚𝑚 + (𝑛𝑛+3)𝑥𝑥𝑛𝑛+2𝑦𝑦𝑚𝑚+1 Igualando las derivadas parciales 6𝑚𝑚 + 6 𝑥𝑥I𝑦𝑦! + 𝑚𝑚 + 2 𝑥𝑥I¨=𝑦𝑦!¨O = (8𝑛𝑛 + 8)𝑥𝑥I𝑦𝑦! + (𝑛𝑛+3)𝑥𝑥I¨=𝑦𝑦!¨O Se deduce 6𝑚𝑚 + 6 = 8𝑛𝑛 + 8 −𝑚𝑚 + 2 = 𝑛𝑛 + 3 ⇒ 6𝑚𝑚 − 8𝑛𝑛 = 2 𝑚𝑚 − 𝑛𝑛 = 1 Resolviendo se tiene que 𝑛𝑛 = 2 y 𝑚𝑚 = 3 por lo tanto el factor integrante está dado por 𝑢𝑢(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) = 𝑥𝑥=𝑦𝑦D Reemplazando el factor integrante en la ecuación (1). 𝑥𝑥=𝑦𝑦D 6𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦D 8𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 6𝑥𝑥=𝑦𝑦B + 𝑥𝑥B𝑦𝑦X 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 8𝑥𝑥D𝑦𝑦D + 𝑥𝑥X𝑦𝑦B 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 Obteniendo sus derivadas parciales 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 24𝑥𝑥2𝑦𝑦3 + 5𝑥𝑥4𝑦𝑦4 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 24𝑥𝑥2𝑦𝑦3 + 5𝑥𝑥4𝑦𝑦4 Se tiene una ecuación diferencial exacta y su resolución está dado por 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 72 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥=𝑦𝑦B + 𝑥𝑥B𝑦𝑦X 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥D𝑦𝑦B + O X 𝑥𝑥X𝑦𝑦X + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (α) Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝑵𝑵(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) Entonces tenemos 8𝑥𝑥D𝑦𝑦D + 𝑥𝑥X𝑦𝑦B = 8𝑥𝑥D𝑦𝑦D + 𝑥𝑥X𝑦𝑦B + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde simplificando tenemos 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 con 𝑘𝑘 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (α), obtemos la solución general dado por 2𝑥𝑥D𝑦𝑦B + 1 5 𝑥𝑥X𝑦𝑦X = 𝐶𝐶 Ejemplo 51 Si 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 es una función de (𝒙𝒙 + 𝒚𝒚); es decir, 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝝏𝝏(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) Recordemos que la ecuación diferencial multiplicada por el factor integrante tiene la forma 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (∗) Ahora para resolver utilizamos la sustitución 𝒛𝒛 = 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚, entonces la ecuación (*) está expresada por 𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 De acuerdo a la sustitución lo podemos expresar como 𝑴𝑴 𝝏𝝏´ 𝒛𝒛 − 𝑵𝑵 𝝏𝝏´(𝒛𝒛) + 𝝏𝝏(𝒛𝒛) 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 De donde 𝝏𝝏´(𝒛𝒛) 𝝏𝝏(𝒛𝒛) = 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 𝑁𝑁 − 𝑀𝑀 Por lo tanto, se ha determinado el factor integrante que está en función de la suma de las variables 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 Ejemplo 52 Resolver la siguiente ecuación diferencial: 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 (∗) 73 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 6𝑥𝑥=𝑦𝑦B + 𝑥𝑥B𝑦𝑦X 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑔𝑔(𝑦𝑦) 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥D𝑦𝑦B + O X 𝑥𝑥X𝑦𝑦X + 𝑔𝑔 𝑦𝑦 (α) Ésta última expresión la derivamos con respecto a 𝑦𝑦; además consideramos que 𝝏𝝏𝝏𝝏(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 = 𝑵𝑵(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) Entonces tenemos 8𝑥𝑥D𝑦𝑦D + 𝑥𝑥X𝑦𝑦B = 8𝑥𝑥D𝑦𝑦D + 𝑥𝑥X𝑦𝑦B + 𝑔𝑔´(𝑦𝑦) De donde simplificando tenemos 𝑔𝑔´ 𝑦𝑦 = 0 ≫≫ 𝑔𝑔 𝑦𝑦 = 𝑘𝑘 con 𝑘𝑘 ∈ ℝ Reemplazando en la ecuación (α), obtemos la solución general dado por 2𝑥𝑥D𝑦𝑦B + 1 5 𝑥𝑥X𝑦𝑦X = 𝐶𝐶 Ejemplo 51 Si 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 es una función de (𝒙𝒙 + 𝒚𝒚); es decir, 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 = 𝝏𝝏(𝒙𝒙 + 𝒚𝒚) Recordemos que la ecuación diferencial multiplicada por el factor integrante tiene la forma 𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 (∗) Ahora para resolver utilizamos la sustitución 𝒛𝒛 = 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚, entonces la ecuación (*) está expresada por 𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒖𝒖 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒛𝒛 𝝏𝝏𝒙𝒙 + 𝒖𝒖 𝒙𝒙, 𝒚𝒚 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 De acuerdo a la sustitución lo podemos expresar como 𝑴𝑴 𝝏𝝏´ 𝒛𝒛 − 𝑵𝑵 𝝏𝝏´(𝒛𝒛) + 𝝏𝝏(𝒛𝒛) 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 = 𝟎𝟎 De donde 𝝏𝝏´(𝒛𝒛) 𝝏𝝏(𝒛𝒛) = 𝝏𝝏𝑴𝑴 𝝏𝝏𝒚𝒚 − 𝝏𝝏𝑵𝑵 𝝏𝝏𝒙𝒙 𝑁𝑁 − 𝑀𝑀 Por lo tanto, se ha determinado el factor integrante que está en función de la suma de las variables 𝑥𝑥 e 𝑦𝑦 Ejemplo 52 Resolver la siguiente ecuación diferencial: 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 (∗) Solución: 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = −2𝑦𝑦 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 = 2𝑥𝑥 Como 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 ≠ 𝝏𝝏𝝏𝝏 𝝏𝝏𝝏𝝏 debemos determinar un factor integrante para poder resolver la ecuación diferencial dada. Consideramos el factor integrante de la forma 𝒖𝒖 𝝏𝝏, 𝝏𝝏 = 𝒇𝒇(𝝏𝝏 + 𝝏𝝏) con 𝒛𝒛 = 𝝏𝝏 + 𝝏𝝏 Para integrar una ecuación diferencial que tenga esta forma de factor integrante, utilizamos la expresión 𝑓𝑓´(𝑧𝑧) 𝑓𝑓(𝑧𝑧) = 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑦𝑦 − 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑥𝑥 𝜕𝜕 − 𝜕𝜕 Donde 𝒇𝒇´(𝒛𝒛) 𝒇𝒇(𝒛𝒛) = −𝟐𝟐𝝏𝝏 − 𝟐𝟐𝝏𝝏 𝝏𝝏𝟐𝟐 − 𝝏𝝏𝟐𝟐 − 𝟏𝟏 − 𝝏𝝏𝟐𝟐 − 𝝏𝝏𝟐𝟐 + 𝟏𝟏 = −2(𝑥𝑥 + 𝑦𝑦) −2 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 = 𝑧𝑧 Es decir, 𝒇𝒇´(𝒛𝒛) 𝒇𝒇(𝒛𝒛) = 𝑧𝑧 ⇒ 𝑓𝑓 𝑧𝑧 = exp 1 2 𝑧𝑧= Que es equivalente a 𝑢𝑢 = exp 1 2 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 2 De esta manera se ha determinado el factor integrante, ahora procedemos a la solución de la ecuación diferencial, para lo cual multiplicamos la ecuación con el factor integrante. Ejercicios 2.6 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1) 𝑥𝑥𝑦𝑦= + 𝑥𝑥=𝑦𝑦= + 3 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 6) 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑥𝑥 + 1 = 0 2) 2𝑥𝑥=𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥D − 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 7) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦 − 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠(𝑦𝑦) 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 3) 3𝑥𝑥 + 2𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= + 2𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 5𝑦𝑦= 𝑦𝑦´ = 0 8) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥=𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 74 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4) 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D + (𝑥𝑥= + 3𝑥𝑥𝑥𝑥= )𝑥𝑥´ = 0 9) 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 5) 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑒𝑒4 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 10) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 − 2 sec (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 2.7. ECUACIONES LINEALES En la unidad I se definió la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden 𝑛𝑛 como 𝑎𝑎I 𝑥𝑥 𝑑𝑑I𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥I + 𝑎𝑎INO 𝑥𝑥 𝑑𝑑INO𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥INO + ⋯+ 𝑎𝑎O 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑎𝑎Q 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡(𝑥𝑥) Se recuerda al lector que la linealidad significa que todos los coeficientes son solamente funciones de 𝑥𝑥 y que la función incógnita 𝑥𝑥 junto con sus n-primeras derivadas son de grado uno. Ahora bien, cuando 𝑛𝑛 = 1, se obtiene la ecuación lineal de primer orden dada por: 𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟎𝟎 𝒙𝒙 𝒅𝒅 = 𝒈𝒈(𝒙𝒙) Dividiendo entre 𝑎𝑎O(𝑥𝑥) resulta la forma más útil 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅 = 𝒈𝒈(𝒙𝒙) (2.24) Se busca la solución de (2.24) en un intervalo 𝐼𝐼 en el cual 𝑃𝑃(𝑥𝑥) y 𝑡𝑡 𝑥𝑥 son continuas. En la discusión que sigue se supone tácitamente que (2.24) tiene solución Un factor integrante Supóngase que la ecuación (2.24) se escribe en la forma diferencial 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (2.25) Las ecuaciones lineales tienen la conveniente propiedad de que siempre es posible encontrar una función 𝜇𝜇 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝜇𝜇 𝑥𝑥 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (2.26) es una ecuación diferencial exacta. Por el Teorema anteriormente citado se sabe que el primer miembro de la ecuación (3) será una diferencial exacta si fi fi1 𝜇𝜇 𝑥𝑥 = fi fi4 𝜇𝜇 𝑥𝑥 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 (2.27) o bien 3& 31 = 𝜇𝜇 𝑃𝑃 𝑥𝑥 75 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4) 2𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑥𝑥D + (𝑥𝑥= + 3𝑥𝑥𝑥𝑥= )𝑥𝑥´ = 0 9) 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 5) 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑒𝑒4 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 10) 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 − 2 sec (𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 2.7. ECUACIONES LINEALES En la unidad I se definió la forma general de una ecuación diferencial lineal de orden 𝑛𝑛 como 𝑎𝑎I 𝑥𝑥 𝑑𝑑I𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥I + 𝑎𝑎INO 𝑥𝑥 𝑑𝑑INO𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥INO + ⋯+ 𝑎𝑎O 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑎𝑎Q 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑡𝑡(𝑥𝑥) Se recuerda al lector que la linealidad significa que todos los coeficientes son solamente funciones de 𝑥𝑥 y que la función incógnita 𝑥𝑥 junto con sus n-primeras derivadas son de grado uno. Ahora bien, cuando 𝑛𝑛 = 1, se obtiene la ecuación lineal de primer orden dada por: 𝒂𝒂𝟏𝟏 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒂𝒂𝟎𝟎 𝒙𝒙 𝒅𝒅 = 𝒈𝒈(𝒙𝒙) Dividiendo entre 𝑎𝑎O(𝑥𝑥) resulta la forma más útil 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅 = 𝒈𝒈(𝒙𝒙) (2.24) Se busca la solución de (2.24) en un intervalo 𝐼𝐼 en el cual 𝑃𝑃(𝑥𝑥) y 𝑡𝑡 𝑥𝑥 son continuas. En la discusión que sigue se supone tácitamente que (2.24) tiene solución Un factor integrante Supóngase que la ecuación (2.24) se escribe en la forma diferencial 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (2.25) Las ecuaciones lineales tienen la conveniente propiedad de que siempre es posible encontrar una función 𝜇𝜇 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝜇𝜇 𝑥𝑥 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (2.26) es una ecuación diferencial exacta. Por el Teorema anteriormente citado se sabe que el primer miembro de la ecuación (3) será una diferencial exacta si fi fi1 𝜇𝜇 𝑥𝑥 = fi fi4 𝜇𝜇 𝑥𝑥 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 𝑡𝑡 𝑥𝑥 (2.27) o bien 3& 31 = 𝜇𝜇 𝑃𝑃 𝑥𝑥 Esta es una ecuación separable a partir de la cual puede determinarse 𝜇𝜇 𝑥𝑥 . Se tiene 𝑑𝑑𝜇𝜇 𝜇𝜇 = 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝜇𝜇 = 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 (2.28) de modo que 𝜇𝜇 𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 ' 1 31 (2.29) A la función 𝜇𝜇 𝑥𝑥 definida en (2.29) se la llama factor integrante de la ecuación lineal. Nótese que no es necesario usar una constante de integración en (2.28) ya que (2.26) no es afectada si se la multiplica por una constante. Además, 𝜇𝜇 𝑥𝑥 ≠ 0 para todo 𝑥𝑥 de 𝐼𝐼 y es continua y diferenciable. Es interesante observar que la ecuación (27) sigue siendo una ecuación diferencial exacta incluso cuando 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0. De hecho, 𝑓𝑓 𝑥𝑥 no desempeña ningún papel en la determinación de 𝜇𝜇 𝑥𝑥 puesto que por (28) vemos que fi fi4 𝜇𝜇 𝑥𝑥 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 0. Así, 𝑒𝑒 ' 1 31𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 ' 1 31 𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑑𝑑 − 𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 y 𝑒𝑒 ' 1 31𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 ' 1 31𝑃𝑃 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 son, ambas, diferenciales exactas. Ahora se escribe (2.26) en la forma 𝑒𝑒 ' 1 31𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑒𝑒 ' 1 31𝑝𝑝 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 y se advierte que la ecuación puede escribirse como 𝑑𝑑 𝑒𝑒 ' 1 31𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 Integrando la última ecuación resulta 𝑒𝑒 ' 1 31𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 o bien 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒N ' 1 31 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 𝑒𝑒N ' 1 31 (2.30) En otras palabras, si 2.25 tiene solución, ésta debe ser de la forma (2.30). Recíprocamente, se puede verificar que (30) constituye una familia uniparamétrica de soluciones de la ecuación (2.25). Sin 76 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN embargo, no se debe tratar de memorizar la fórmula (2.30). El procedimiento debe seguirse cada vez, por eso es conveniente resumir los resultados. Método de solución Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, primero escríbala en la forma (2.25); o sea, haga el coeficiente de 𝑦𝑦′ igual a la unidad. Multiplique después toda la ecuación por el factor integrante 𝑒𝑒 ' 1 31. El primer miembro de 𝑒𝑒 ' 1 31 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑃𝑃 𝑑𝑑 𝑒𝑒 ' 1 31𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑑𝑑 (2.31) es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, es decir la ecuación (8) lo podemos escribir como: 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒 ' 1 31𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑑𝑑 (2.32) Por último, integrando ambos miembros de la ec. (2.32) se tiene la solución general de la ecuación diferencial dada por: 𝒚𝒚 = 𝒆𝒆N 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒄𝒄𝒆𝒆N 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. Ejemplo 53 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 − 𝟒𝟒𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟔𝟔𝒆𝒆𝒙𝒙 Solución Escriba la ecuación como 34 31 − B 1 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑X𝑒𝑒1 (*) y determine el factor integrante 𝑒𝑒NB 31 1 = 𝑒𝑒NB(I 1 = 𝑒𝑒(I1 ˚b = 𝑑𝑑NB EJERCICIOS RESUELTOS Aquí se usa la identidad básica 𝑏𝑏)˛*+˜ = 𝑁𝑁. Ahora multiplique (*) por éste término 𝑥𝑥NB 34 31 − 4𝑥𝑥NX𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 (**) y obtenga 3 31 𝑥𝑥NB𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 (***) Por integración por partes queda 𝑥𝑥NB𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 − 𝑒𝑒1 + 𝑐𝑐 o bien… 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥X𝑒𝑒1 − 𝑥𝑥B𝑒𝑒1 + 𝑐𝑐𝑥𝑥B Ejemplo 54 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝟑𝟑𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 Solución La ecuación ya está en la forma (1). Por consiguiente, el factor integrante es 𝑒𝑒 ND 31 = 𝑒𝑒ND1 En consecuencia 𝑒𝑒ND1 34 31 − 3𝑒𝑒ND1𝑦𝑦 = 0 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑒𝑒ND1𝑦𝑦 = 0 𝑒𝑒ND1𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 y por lo tanto 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑒𝑒D1 Ejemplo 55 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟎𝟎 = −𝟑𝟑 Solución Las funciones 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 y 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 son continuas en −∞ < 𝑥𝑥 < ∞ El factor integrante es 𝑒𝑒= 1 31 = 𝑒𝑒1 2 de modo que 𝑒𝑒12 34 31 + 2𝑥𝑥𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 2 77 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN embargo, no se debe tratar de memorizar la fórmula (2.30). El procedimiento debe seguirse cada vez, por eso es conveniente resumir los resultados. Método de solución Para resolver una ecuación diferencial lineal de primer orden, primero escríbala en la forma (2.25); o sea, haga el coeficiente de 𝑦𝑦′ igual a la unidad. Multiplique después toda la ecuación por el factor integrante 𝑒𝑒 ' 1 31. El primer miembro de 𝑒𝑒 ' 1 31 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑃𝑃 𝑑𝑑 𝑒𝑒 ' 1 31𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑑𝑑 (2.31) es la derivada del producto del factor integrante por la variable dependiente, es decir la ecuación (8) lo podemos escribir como: 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒 ' 1 31𝑦𝑦 = 𝑒𝑒 ' 1 31𝑔𝑔 𝑑𝑑 (2.32) Por último, integrando ambos miembros de la ec. (2.32) se tiene la solución general de la ecuación diferencial dada por: 𝒚𝒚 = 𝒆𝒆N 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 𝒆𝒆 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙𝒈𝒈 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒄𝒄𝒆𝒆N 𝑷𝑷 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒙𝒙 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales. Ejemplo 53 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 − 𝟒𝟒𝒚𝒚 = 𝒙𝒙𝟔𝟔𝒆𝒆𝒙𝒙 Solución Escriba la ecuación como 34 31 − B 1 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑X𝑒𝑒1 (*) y determine el factor integrante 𝑒𝑒NB 31 1 = 𝑒𝑒NB(I 1 = 𝑒𝑒(I1 ˚b = 𝑑𝑑NB EJERCICIOS RESUELTOS Aquí se usa la identidad básica 𝑏𝑏)˛*+˜ = 𝑁𝑁. Ahora multiplique (*) por éste término 𝑥𝑥NB 34 31 − 4𝑥𝑥NX𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 (**) y obtenga 3 31 𝑥𝑥NB𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 (***) Por integración por partes queda 𝑥𝑥NB𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 − 𝑒𝑒1 + 𝑐𝑐 o bien… 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥X𝑒𝑒1 − 𝑥𝑥B𝑒𝑒1 + 𝑐𝑐𝑥𝑥B Ejemplo 54 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝟑𝟑𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 Solución La ecuación ya está en la forma (1). Por consiguiente, el factor integrante es 𝑒𝑒 ND 31 = 𝑒𝑒ND1 En consecuencia 𝑒𝑒ND1 34 31 − 3𝑒𝑒ND1𝑦𝑦 = 0 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑒𝑒ND1𝑦𝑦 = 0 𝑒𝑒ND1𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 y por lo tanto 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑒𝑒D1 Ejemplo 55 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟎𝟎 = −𝟑𝟑 Solución Las funciones 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 y 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 son continuas en −∞ < 𝑥𝑥 < ∞ El factor integrante es 𝑒𝑒= 1 31 = 𝑒𝑒1 2 de modo que 𝑒𝑒12 34 31 + 2𝑥𝑥𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑒𝑒1 2 78 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑒𝑒1 2 𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑒𝑒1 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 1 2 𝑒𝑒1 2 + 𝑐𝑐 Por consiguiente, la solución general de la ecuación diferencial es 𝑦𝑦 = 1 2 + 𝑐𝑐𝑒𝑒N1 2 De la condición y 0 = −3 se obtiene c = −7 2 por ello la solución del problema de valor inicial en el intervalo es 𝑦𝑦 = 1 2 − 7 2 𝑒𝑒N1 2 Véase la Figura 16 y x c = -1 c = 1c = 0 c = -7/2 y = 1/2 (0, -3) Figura 16. Solución del problema de valor inicial Fuente. Autores Ejemplo 56 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 Solución Escribir la ecuación dada como 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 𝑦𝑦 = 2 79 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑒𝑒1 2 𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑒𝑒1 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒1 2 𝑦𝑦 = 1 2 𝑒𝑒1 2 + 𝑐𝑐 Por consiguiente, la solución general de la ecuación diferencial es 𝑦𝑦 = 1 2 + 𝑐𝑐𝑒𝑒N1 2 De la condición y 0 = −3 se obtiene c = −7 2 por ello la solución del problema de valor inicial en el intervalo es 𝑦𝑦 = 1 2 − 7 2 𝑒𝑒N1 2 Véase la Figura 16 y x c = -1 c = 1c = 0 c = -7/2 y = 1/2 (0, -3) Figura 16. Solución del problema de valor inicial Fuente. Autores Ejemplo 56 𝒙𝒙𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝒙𝒙 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟏𝟏 = 𝟎𝟎 Solución Escribir la ecuación dada como 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 𝑦𝑦 = 2 y observe que 𝑃𝑃 𝑥𝑥 = O 1 es continua en cualquier intervalo que no contiene al origen. En vista de la condición inicial, se resuelve el problema en el intervalo 0 < 𝑥𝑥 < ∞. El factor integrante es 𝑒𝑒 31 1 = 𝑒𝑒(I 1 = 𝑥𝑥 y por consiguiente 3 31 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 2𝑥𝑥 da lugar a 𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑥𝑥= + 𝑐𝑐 La solución general de la ecuación es 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + n 1 (*) Pero 𝑥𝑥 1 = 0 implica 𝑐𝑐 = −1. Por lo tanto se obtiene 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 − O 1 , 0 < 𝑥𝑥 < ∞ (**) La gráfica de la ecuación (*), considerada como una familia uniparamétrica de curvas, se presenta en la Figura 17. La solución de la ecuación (*) del problema de valor inicial está indicada por la porción en color de la grafica c = 0 c = 1 c = -1 (1, 0) y x Figura 17. Representación geométrica de la solución particular de la EDO Fuente. Autores 80 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejercicios 2.7 En los problemas del 1-10, halle la solución general de la ecuación diferencial. De un intervalo en el cual la solución general esté definida 1. 34 31 = 4𝑦𝑦 6.34 31 = 𝑦𝑦 + 𝑒𝑒1 2. 34 31 + 2𝑦𝑦 = 0 7. 𝑦𝑦, + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= 3. 2 34 31 + 10𝑦𝑦 = 1 8. 𝑦𝑦, + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑥𝑥D 4.𝑥𝑥 34 31 + 2𝑦𝑦 = 3 9.𝑥𝑥=𝑦𝑦, + 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 1 5. 34 31 + 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒D1 10. 𝑦𝑦, = 2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥= + 5 En los problemas del 11 – 19 resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición inicial que se indica 11. 34 31 + 5𝑦𝑦 = 20, 𝑦𝑦 0 = 2 12.𝑦𝑦, = 2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 𝑒𝑒D1 − 𝑒𝑒=1 , 𝑦𝑦 0 = 2 13. 𝐿𝐿 3T 3u + 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐸𝐸; 𝐿𝐿, 𝑅𝑅, y 𝐸𝐸 son constantes; 𝑅𝑅 0 = 𝑅𝑅Q 14. � 34 31 − 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦=, 𝑦𝑦 1 = 5 15. 𝑦𝑦, + tan 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐=𝑥𝑥, 𝑦𝑦 0 = −1 16. 3- 31 = 5𝑥𝑥B𝑄𝑄, 𝑄𝑄 0 = −7 17.3. 3u = 𝑘𝑘 𝑇𝑇 − 50 , 𝑘𝑘 constante, 𝑇𝑇 0 = 200 18. 𝑥𝑥 + 1 34 31 + 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 1 = 10 19. 𝑥𝑥𝑦𝑦, + 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒1, 𝑦𝑦 1 = 2 2.8. ECUACIÓN DE BERNOULLI Para la integración de la ecuación de Bernoulli se deben considerar los siguientes casos: Ø Si 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 o 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏, se tiene que la ecuación de Bernoulli representa una ecuación diferencial a variable separable. Ø Si 𝑛𝑛 ≠ 1 entonces a la ecuación de Bernoulli (*) lo procedemos a dividir por el término 𝑦𝑦I, con lo que se obtiene 1 𝑦𝑦I 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑝𝑝 𝑑𝑑 1 𝑦𝑦INO = 𝑞𝑞 𝑑𝑑 (∗∗) De donde Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 1 𝑦𝑦INO Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (−𝑛𝑛 + 1) 1 𝑦𝑦I 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 Remplazando en (**) 1 1 − 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑝𝑝 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 𝑞𝑞 𝑑𝑑 (∗∗∗) Obteniendo una ecuación diferencial lineal (***), que lo podemos resolver mediante el factor integrante. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Ejemplo 57 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐 Definición 2.8. ECUACIÓN DE BERNOULLI Definición. Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝(𝑑𝑑)𝑦𝑦 + 𝑞𝑞(𝑑𝑑)𝑦𝑦I (∗) Se denomina ecuación diferencial de Bernoulli, Donde: 𝑝𝑝(𝑑𝑑) 𝑦𝑦 𝑞𝑞(𝑑𝑑) funciones reales continuas en algún 𝐼𝐼 ⊂ 𝑅𝑅, y 𝑛𝑛 es un número real. EJERCICIOS RESUELTOS 81 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejercicios 2.7 En los problemas del 1-10, halle la solución general de la ecuación diferencial. De un intervalo en el cual la solución general esté definida 1. 34 31 = 4𝑦𝑦 6.34 31 = 𝑦𝑦 + 𝑒𝑒1 2. 34 31 + 2𝑦𝑦 = 0 7. 𝑦𝑦, + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 = 𝑥𝑥= 3. 2 34 31 + 10𝑦𝑦 = 1 8. 𝑦𝑦, + 2𝑥𝑥𝑦𝑦 = 𝑥𝑥D 4.𝑥𝑥 34 31 + 2𝑦𝑦 = 3 9.𝑥𝑥=𝑦𝑦, + 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 1 5. 34 31 + 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒D1 10. 𝑦𝑦, = 2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥= + 5 En los problemas del 11 – 19 resuelva la ecuación diferencial dada sujeta a la condición inicial que se indica 11. 34 31 + 5𝑦𝑦 = 20, 𝑦𝑦 0 = 2 12.𝑦𝑦, = 2𝑦𝑦 + 𝑥𝑥 𝑒𝑒D1 − 𝑒𝑒=1 , 𝑦𝑦 0 = 2 13. 𝐿𝐿 3T 3u + 𝑅𝑅𝑅𝑅 = 𝐸𝐸; 𝐿𝐿, 𝑅𝑅, y 𝐸𝐸 son constantes; 𝑅𝑅 0 = 𝑅𝑅Q 14. � 34 31 − 𝑥𝑥 = 2𝑦𝑦=, 𝑦𝑦 1 = 5 15. 𝑦𝑦, + tan 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐=𝑥𝑥, 𝑦𝑦 0 = −1 16. 3- 31 = 5𝑥𝑥B𝑄𝑄, 𝑄𝑄 0 = −7 17.3. 3u = 𝑘𝑘 𝑇𝑇 − 50 , 𝑘𝑘 constante, 𝑇𝑇 0 = 200 18. 𝑥𝑥 + 1 34 31 + 𝑦𝑦 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 , 𝑦𝑦 1 = 10 19. 𝑥𝑥𝑦𝑦, + 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒1, 𝑦𝑦 1 = 2 2.8. ECUACIÓN DE BERNOULLI Para la integración de la ecuación de Bernoulli se deben considerar los siguientes casos: Ø Si 𝒏𝒏 = 𝟎𝟎 o 𝒏𝒏 = 𝟏𝟏, se tiene que la ecuación de Bernoulli representa una ecuación diferencial a variable separable. Ø Si 𝑛𝑛 ≠ 1 entonces a la ecuación de Bernoulli (*) lo procedemos a dividir por el término 𝑦𝑦I, con lo que se obtiene 1 𝑦𝑦I 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑝𝑝 𝑑𝑑 1 𝑦𝑦INO = 𝑞𝑞 𝑑𝑑 (∗∗) De donde Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 1 𝑦𝑦INO Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = (−𝑛𝑛 + 1) 1 𝑦𝑦I 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 Remplazando en (**) 1 1 − 𝑛𝑛 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑝𝑝 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 𝑞𝑞 𝑑𝑑 (∗∗∗) Obteniendo una ecuación diferencial lineal (***), que lo podemos resolver mediante el factor integrante. Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Ejemplo 57 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 = − 𝟏𝟏 𝟐𝟐 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝟑𝟑𝒅𝒅𝟐𝟐 Definición 2.8. ECUACIÓN DE BERNOULLI Definición. Una ecuación diferencial de la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑝𝑝(𝑑𝑑)𝑦𝑦 + 𝑞𝑞(𝑑𝑑)𝑦𝑦I (∗) Se denomina ecuación diferencial de Bernoulli, Donde: 𝑝𝑝(𝑑𝑑) 𝑦𝑦 𝑞𝑞(𝑑𝑑) funciones reales continuas en algún 𝐼𝐼 ⊂ 𝑅𝑅, y 𝑛𝑛 es un número real. EJERCICIOS RESUELTOS 82 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo Dividimos la ecuación por 𝑦𝑦= 1 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 + 1 1 𝑦𝑦 = − 1 2 𝑑𝑑 + 1 D (∗) Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 1 𝑦𝑦 Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 1 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 Reemplazando en (*) − 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 + 1 𝑧𝑧 = − 1 2 𝑑𝑑 + 1 D Ecuación diferencial lineal 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1 𝑑𝑑 + 1 𝑧𝑧 = 1 2 𝑑𝑑 + 1 D (∗∗) Como la ecuación (**) representa una EDO lineal, entonces para su solución aplicamos el factor integrante dado por 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 0 1 31 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒N O 1¨O 31 = 1 𝑑𝑑 + 1 Luego multiplicando 𝜇𝜇 𝑑𝑑 en (**) tenemos 1 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 (𝑑𝑑 + 1)= 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 2 𝑑𝑑 + 1 = 𝑧𝑧 𝑑𝑑 + 1 , = 1 2 𝑑𝑑 + 1 =𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando esta última expresión 𝑧𝑧 𝑑𝑑 + 1 = 1 2 𝑑𝑑 + 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 1 𝑦𝑦(𝑑𝑑 + 1) = 1 2 𝑑𝑑D 3 + 𝑑𝑑= + 𝑑𝑑 Ejemplo 58 𝟑𝟑 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟑𝟑 𝒅𝒅 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟒𝟒𝒅𝒅𝟒𝟒 Desarrollo Dividimos la ecuación por 𝑦𝑦B 3 𝑦𝑦B 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3 𝑑𝑑 1 𝑦𝑦D = 2𝑑𝑑B (∗) Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 1 𝑦𝑦D Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 3 𝑦𝑦B 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 Reemplazando en (*) − 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 2𝑑𝑑B Ecuación diferencial lineal 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 3 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = −2𝑑𝑑B (∗∗) Como la ecuación (**) representa una EDO lineal, entonces para su solución aplicamos el factor integrante dado por 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 0 1 31 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒N D 1 31 = 1 𝑑𝑑D Luego multiplicando 𝜇𝜇 𝑑𝑑 en (**) tenemos 1 𝑑𝑑D 𝑑𝑑𝑧𝑧 − 3𝑧𝑧 𝑑𝑑 B 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −2𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧 𝑑𝑑D , = −2𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando esta última expresión 𝑧𝑧 𝑑𝑑D , = −2 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 1 𝑑𝑑D𝑦𝑦D = −𝑑𝑑= + 𝐶𝐶 83 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo Dividimos la ecuación por 𝑦𝑦= 1 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 + 1 1 𝑦𝑦 = − 1 2 𝑑𝑑 + 1 D (∗) Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 1 𝑦𝑦 Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 1 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 Reemplazando en (*) − 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 + 1 𝑧𝑧 = − 1 2 𝑑𝑑 + 1 D Ecuación diferencial lineal 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1 𝑑𝑑 + 1 𝑧𝑧 = 1 2 𝑑𝑑 + 1 D (∗∗) Como la ecuación (**) representa una EDO lineal, entonces para su solución aplicamos el factor integrante dado por 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 0 1 31 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒N O 1¨O 31 = 1 𝑑𝑑 + 1 Luego multiplicando 𝜇𝜇 𝑑𝑑 en (**) tenemos 1 𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑𝑧𝑧 − 𝑧𝑧 (𝑑𝑑 + 1)= 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 2 𝑑𝑑 + 1 = 𝑧𝑧 𝑑𝑑 + 1 , = 1 2 𝑑𝑑 + 1 =𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando esta última expresión 𝑧𝑧 𝑑𝑑 + 1 = 1 2 𝑑𝑑 + 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 1 𝑦𝑦(𝑑𝑑 + 1) = 1 2 𝑑𝑑D 3 + 𝑑𝑑= + 𝑑𝑑 Ejemplo 58 𝟑𝟑 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟑𝟑 𝒅𝒅 𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟒𝟒𝒅𝒅𝟒𝟒 Desarrollo Dividimos la ecuación por 𝑦𝑦B 3 𝑦𝑦B 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3 𝑑𝑑 1 𝑦𝑦D = 2𝑑𝑑B (∗) Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 1 𝑦𝑦D Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 3 𝑦𝑦B 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 Reemplazando en (*) − 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 3 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 2𝑑𝑑B Ecuación diferencial lineal 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 3 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = −2𝑑𝑑B (∗∗) Como la ecuación (**) representa una EDO lineal, entonces para su solución aplicamos el factor integrante dado por 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 0 1 31 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒N D 1 31 = 1 𝑑𝑑D Luego multiplicando 𝜇𝜇 𝑑𝑑 en (**) tenemos 1 𝑑𝑑D 𝑑𝑑𝑧𝑧 − 3𝑧𝑧 𝑑𝑑 B 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −2𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑧𝑧 𝑑𝑑D , = −2𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando esta última expresión 𝑧𝑧 𝑑𝑑D , = −2 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 1 𝑑𝑑D𝑦𝑦D = −𝑑𝑑= + 𝐶𝐶 84 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 59 𝒚𝒚, = 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝒚𝒚 𝟐𝟐𝒙𝒙 Desarrollo La ecuación diferencial dada es equivalente a 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 2𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑=𝑑𝑑X Dividiendo por 𝑑𝑑X 1 𝑑𝑑X 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1 2𝑑𝑑𝑑𝑑B = 5𝑑𝑑= (∗) Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑ONI 𝑛𝑛 mayor grado de 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 1 𝑑𝑑B Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4𝑑𝑑NX 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Reemplazando en (*) − 1 4 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑧𝑧 2𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑= Ecuación diferencial lineal 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = −20𝑑𝑑= (∗∗) Como la ecuación (**) representa una EDO lineal, entonces para su solución aplicamos el factor integrante dado por 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 0 1 31 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 = 1 31 = 𝑑𝑑2 Luego multiplicando 𝜇𝜇 𝑑𝑑 en (**) tenemos 𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑧𝑧 + 2𝑑𝑑 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −20𝑑𝑑4 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑= 𝑧𝑧 , = −20𝑑𝑑4 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando esta última expresión 𝑑𝑑= 𝑧𝑧 , = −20 𝑑𝑑4 𝑑𝑑𝑑𝑑 Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 𝑑𝑑= 𝑑𝑑B = −4𝑑𝑑X + 𝐶𝐶 85 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 59 𝒚𝒚, = 𝟓𝟓𝒙𝒙𝟐𝟐𝒚𝒚𝟓𝟓 + 𝒚𝒚 𝟐𝟐𝒙𝒙 Desarrollo La ecuación diferencial dada es equivalente a 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑑𝑑 2𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑=𝑑𝑑X Dividiendo por 𝑑𝑑X 1 𝑑𝑑X 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 1 2𝑑𝑑𝑑𝑑B = 5𝑑𝑑= (∗) Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑ONI 𝑛𝑛 mayor grado de 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 1 𝑑𝑑B Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −4𝑑𝑑NX 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Reemplazando en (*) − 1 4 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑧𝑧 2𝑑𝑑 = 5𝑑𝑑= Ecuación diferencial lineal 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 2 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = −20𝑑𝑑= (∗∗) Como la ecuación (**) representa una EDO lineal, entonces para su solución aplicamos el factor integrante dado por 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 0 1 31 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 = 1 31 = 𝑑𝑑2 Luego multiplicando 𝜇𝜇 𝑑𝑑 en (**) tenemos 𝑑𝑑= 𝑑𝑑𝑧𝑧 + 2𝑑𝑑 𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −20𝑑𝑑4 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑= 𝑧𝑧 , = −20𝑑𝑑4 𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando esta última expresión 𝑑𝑑= 𝑧𝑧 , = −20 𝑑𝑑4 𝑑𝑑𝑑𝑑 Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 𝑑𝑑= 𝑑𝑑B = −4𝑑𝑑X + 𝐶𝐶 Ejemplo 60 𝒅𝒅𝒚𝒚 �𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝒙𝒙 − 𝟐𝟐 𝒚𝒚 = 𝟓𝟓(𝒙𝒙 − 𝟐𝟐) 𝒚𝒚 Desarrollo La ecuación diferencial dada es equivalente a 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 1 𝑑𝑑 − 2 𝑑𝑑 = 5 𝑑𝑑 − 2 𝑑𝑑 Dividiendo (*) por 𝑑𝑑 1 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑 (𝑑𝑑 − 2) = 5 𝑑𝑑 − 2 (∗) Realizando la sustitución 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑ONI 𝑛𝑛 mayor grado de 𝑑𝑑 𝑧𝑧 = 𝑑𝑑 Derivando con respecto a 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 1 2 𝑑𝑑NO/= 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Reemplazando en (*) 2 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑧𝑧 𝑑𝑑 − 2 = 5 𝑑𝑑 − 2 Ecuación diferencial lineal 𝑑𝑑𝑧𝑧 𝑑𝑑𝑑𝑑 + + 𝑧𝑧 2 𝑑𝑑 − 2 = 5 2 𝑑𝑑 − 2 (∗∗) Como la ecuación (**) representa una EDO lineal, entonces para su solución aplicamos el factor integrante dado por 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 0 1 31 𝜇𝜇 𝑑𝑑 = 𝑒𝑒 O =(1N=) 31 = 𝑑𝑑 − 2 Luego multiplicando 𝜇𝜇 𝑑𝑑 en (**) tenemos 𝑑𝑑 − 2𝑑𝑑𝑧𝑧 + 1 2 𝑑𝑑 − 2 𝑧𝑧𝑑𝑑𝑑𝑑 = 5 2 𝑑𝑑 − 2 D =𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 − 2 𝑧𝑧 , = 5 2 𝑑𝑑 − 2 3 2𝑑𝑑𝑑𝑑 Integrando esta última expresión 𝑑𝑑 − 2 𝑧𝑧 , = 5 2 𝑑𝑑 − 2 3 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 86 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2 X = + 𝐶𝐶 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶 𝑥𝑥 − 2 N O = + 𝑥𝑥 − 2 = Obtenemos la solución general dada en forma implícita. Ejercicios 2.8 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. 𝑦𝑦 ´ − 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = − 1 2𝑦𝑦 2. 6𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3𝑥𝑥D + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 3. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦D 4. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3�= 𝑥𝑥D + 𝑦𝑦 + 1 5. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥D𝑦𝑦 𝑥𝑥B + 𝑦𝑦= 2.9. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DADAS EN FORMA NO NORMAL. 2.9.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA 𝒙𝒙 = 𝒇𝒇(𝒚𝒚,) Para integrar este tipo de ecuaciones diferenciales se utiliza la sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑. Donde 𝒑𝒑 es una función continua en el intervalo que 𝒇𝒇(𝒚𝒚,) es continua y diferenciable. Luego la ecuación diferencial lo podemos expresar como 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑝𝑝 (∗) Si a la ecuación (1) la derivamos con respecto a 𝑥𝑥, se tiene 1 = 𝑓𝑓, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = 𝑓𝑓, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 87 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Escribiendo en términos de las variables originales tenemos 𝑥𝑥 − 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 2 X = + 𝐶𝐶 𝑦𝑦 = 𝐶𝐶 𝑥𝑥 − 2 N O = + 𝑥𝑥 − 2 = Obtenemos la solución general dada en forma implícita. Ejercicios 2.8 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. 𝑦𝑦 ´ − 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = − 1 2𝑦𝑦 2. 6𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3𝑥𝑥D + 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 3. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 1 𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑥𝑥=𝑦𝑦D 4. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3�= 𝑥𝑥D + 𝑦𝑦 + 1 5. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 4𝑥𝑥D𝑦𝑦 𝑥𝑥B + 𝑦𝑦= 2.9. ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN DADAS EN FORMA NO NORMAL. 2.9.1. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA 𝒙𝒙 = 𝒇𝒇(𝒚𝒚,) Para integrar este tipo de ecuaciones diferenciales se utiliza la sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑. Donde 𝒑𝒑 es una función continua en el intervalo que 𝒇𝒇(𝒚𝒚,) es continua y diferenciable. Luego la ecuación diferencial lo podemos expresar como 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓 𝑝𝑝 (∗) Si a la ecuación (1) la derivamos con respecto a 𝑥𝑥, se tiene 1 = 𝑓𝑓, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = 𝑓𝑓, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 = 𝑝𝑝𝑝𝑝′(𝑝𝑝) 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 De donde 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝑝𝑝𝑝𝑝′(𝑝𝑝) Integrando tenemos 𝑑𝑑 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 Es decir, la solución general de la ecuación (1) está dada en forma paramétrica de la siguiente manera 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 𝑝𝑝 𝑝𝑝, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 Ejemplo 61 Resolver la ecuación la siguiente ecuación diferencial 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑 ´ D − 4 𝑑𝑑 ´ = − 2𝑑𝑑 ´ (∗) Solución Sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑 La ecuación (*) es equivalente a 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 D − 4 𝑝𝑝 = − 2𝑝𝑝 Derivamos con respecto a 𝑥𝑥 1 = 3𝑝𝑝= 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 8𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Aplicando la regla de la cadena 1 = 3𝑝𝑝= 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 8𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 2 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 Como 𝑝𝑝 = 34 31 entonces 1 = 3𝑝𝑝 D 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 8𝑝𝑝= 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 2𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑑𝑑 De donde tenemos 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝑝𝑝D − 8𝑝𝑝= − 2𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 Integrando resulta 𝑑𝑑 = 3 4 𝑝𝑝B − 8 3 𝑝𝑝D − 𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 Por lo tanto, se obtiene la solución de la ecuación diferencial dada en forma paramétrica. 𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 D − 4 𝑝𝑝 = − 2𝑝𝑝 𝑑𝑑 = 3 4 𝑝𝑝B − 8 3 𝑝𝑝D − 𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 88 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 2.9.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒚𝒚,) Para integrar este tipo de ecuaciones diferenciales se utiliza la sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑. Luego la ecuación diferencial lo podemos expresar como 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑝𝑝 (2.33) Si a la ecuación (2.33) la derivamos con respecto a 𝑥𝑥, se tiene 𝑦𝑦 , = 𝑓𝑓, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝑓𝑓′(𝑝𝑝) 𝑝𝑝 Integrando tenemos 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓′(𝑝𝑝) 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 Es decir, la solución general de la ecuación (1) está dada en forma paramétrica de la siguiente manera 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓′(𝑝𝑝) 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑝𝑝 Ejemplo 62 Resolver la ecuación la siguiente ecuación diferencial 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ´ ln 𝑦𝑦 ´ (∗) Solución Sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑 La ecuación (*) es equivalente a 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 ln 𝑝𝑝 Derivamos con respecto a 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ln 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Como 𝑝𝑝 = 34 31 entonces 𝑝𝑝 = ln 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑝𝑝 = ln 𝑝𝑝 + 1 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde tenemos 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑝𝑝| + 1 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 89 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 2.9.2. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE LA FORMA 𝒚𝒚 = 𝒇𝒇(𝒚𝒚,) Para integrar este tipo de ecuaciones diferenciales se utiliza la sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑. Luego la ecuación diferencial lo podemos expresar como 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑝𝑝 (2.33) Si a la ecuación (2.33) la derivamos con respecto a 𝑥𝑥, se tiene 𝑦𝑦 , = 𝑓𝑓, 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 = 𝑓𝑓′(𝑝𝑝) 𝑝𝑝 Integrando tenemos 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓′(𝑝𝑝) 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 Es decir, la solución general de la ecuación (1) está dada en forma paramétrica de la siguiente manera 𝑥𝑥 = 𝑓𝑓′(𝑝𝑝) 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 + 𝐶𝐶 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓 𝑝𝑝 Ejemplo 62 Resolver la ecuación la siguiente ecuación diferencial 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦 ´ ln 𝑦𝑦 ´ (∗) Solución Sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑 La ecuación (*) es equivalente a 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 ln 𝑝𝑝 Derivamos con respecto a 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = ln 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Como 𝑝𝑝 = 34 31 entonces 𝑝𝑝 = ln 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑝𝑝 = ln 𝑝𝑝 + 1 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde tenemos 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑝𝑝| + 1 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 Integrando resulta 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑝𝑝| + 1 = 2 + 𝐶𝐶 Por lo tanto, se obtiene la solución de la ecuación diferencial dada en forma paramétrica. 𝑥𝑥 = 𝑙𝑙𝑙𝑙|𝑝𝑝| + 1 = 2 + 𝐶𝐶 𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 ln 𝑝𝑝 Ejercicios 2.9 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. 𝑥𝑥 𝑦𝑦´ = − 2𝑦𝑦 𝑦𝑦´ + 𝑥𝑥 = 0 2. 𝑥𝑥= 𝑦𝑦´ = + 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑦𝑦´ − 6𝑦𝑦= = 0 3. 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 1 + 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 4. 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦´ − 1 𝑒𝑒4 5. 𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑒𝑒𝑙𝑙 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 2.10. ECUACIÓN DIFERENCIAL DE CLAIRAUT La importancia del estudio del tipo de ecuaciones diferenciales que vamos analizar radica en el hecho de que tiene como solución a una familia de rectas. Además, la envolvente, es decir, la curva cuyas tangentes están dadas por la familia, también es solución, en este caso una solución singular, de la ecuación de Clairaut. La integral de la ecuación diferencial de Clairaut se lo realiza mediante la sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑, Definición 2.10. ECUACIÓN DE CLAIRAUT Una ecuación diferencial de la forma 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑓𝑓 F 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 J (∗) Se denomina ecuación de Clairaut, donde 𝑓𝑓 tiene derivadas primeras y segundas continuas en algún 𝐼𝐼 ⊂ ℝ . 90 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Entonces la ecuación (*) la podemos expresar como 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Derivando con respecto a 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 Como 𝑦𝑦, = 𝑥𝑥, entonces tenemos 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 De donde 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (∗∗) ∨ 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓, 𝑥𝑥 = 0 (∗∗∗) • De (2) se sigue que 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶 que al sustituir en 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se obtiene la solución general 𝒚𝒚 = 𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝒇𝒇(𝑪𝑪) • De (3) se elimina 𝑥𝑥 del sistema 𝒚𝒚 = 𝒑𝒑𝑪𝑪 + 𝒇𝒇 𝒑𝒑 𝟎𝟎 = 𝑪𝑪 + 𝒇𝒇, 𝒑𝒑 y se obtiene una solución singular, la misma que representa la envolvente de la familia de curvas 𝒚𝒚 = 𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝒇𝒇(𝑪𝑪). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Ejemplo 63 𝒚𝒚 = 𝑪𝑪 𝒚𝒚 ´ + 𝒚𝒚 ´ 𝟐𝟐 (∗) EJRCICIOS RESUELTOS 91 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Entonces la ecuación (*) la podemos expresar como 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑥𝑥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) Derivando con respecto a 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 Como 𝑦𝑦, = 𝑥𝑥, entonces tenemos 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓′(𝑥𝑥) 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 De donde 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 (∗∗) ∨ 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓, 𝑥𝑥 = 0 (∗∗∗) • De (2) se sigue que 𝑥𝑥 = 𝐶𝐶 que al sustituir en 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑥𝑥 + 𝑓𝑓(𝑥𝑥) se obtiene la solución general 𝒚𝒚 = 𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝒇𝒇(𝑪𝑪) • De (3) se elimina 𝑥𝑥 del sistema 𝒚𝒚 = 𝒑𝒑𝑪𝑪 + 𝒇𝒇 𝒑𝒑 𝟎𝟎 = 𝑪𝑪 + 𝒇𝒇, 𝒑𝒑 y se obtiene una solución singular, la misma que representa la envolvente de la familia de curvas 𝒚𝒚 = 𝑪𝑪𝑪𝑪 + 𝒇𝒇(𝑪𝑪). Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales Ejemplo 63 𝒚𝒚 = 𝑪𝑪 𝒚𝒚 ´ + 𝒚𝒚 ´ 𝟐𝟐 (∗) EJRCICIOS RESUELTOS Solución Sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑 La ecuación (*) es equivalente a 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑝𝑝 + 𝑝𝑝= Derivamos con respecto a 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Como 𝑝𝑝 = 34 31 entonces 𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 2 𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde tenemos 0 = 𝑥𝑥 + 2𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Si 30 31 = 0, entonces 𝑝𝑝 = − 1 2 𝑥𝑥 ⟹ 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 1 2 𝑥𝑥 (∗∗) Reemplazando (**) en (*) 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 1 2 𝑥𝑥 + − 1 2 𝑥𝑥 = Solución singular 𝑦𝑦 = − 1 4 𝑥𝑥= Ejemplo 64 𝟖𝟖𝒙𝒙 𝟐𝟐 + 𝟐𝟐𝒚𝒚 𝒚𝒚 ´ 𝟐𝟐 − 𝐱𝐱 𝒚𝒚 ´ 𝟑𝟑 = 𝟎𝟎 (∗) Solución Sustitución 𝒚𝒚, = 𝒑𝒑 La ecuación (*) es equivalente a 8𝑥𝑥= + 2𝑦𝑦𝑝𝑝= − 𝑥𝑥 𝑝𝑝D = 0 Despejamos 𝑦𝑦 2𝑦𝑦 = 𝑝𝑝 𝑥𝑥 − 8 𝑥𝑥= 𝑝𝑝= (∗) Derivamos con respecto a 𝑥𝑥 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑝𝑝 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 16 𝑥𝑥 𝑝𝑝= + 16 𝑥𝑥= 𝑝𝑝D 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Como 𝑝𝑝 = 34 31 entonces 2𝑝𝑝 = 𝑝𝑝 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 16 𝑥𝑥 𝑝𝑝= + 16 𝑥𝑥= 𝑝𝑝D 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 De donde tenemos 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 16 𝑥𝑥 𝑝𝑝= + 16 𝑥𝑥= 𝑝𝑝D 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 92 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Multiplicamos por 𝑝𝑝D 𝑝𝑝B = 𝑝𝑝D𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 16𝑝𝑝𝑥𝑥 + 16𝑥𝑥= 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Agrupando los términos tenemos 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 𝑝𝑝 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 De donde 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 = 0 𝑜𝑜 𝑝𝑝 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 Si 𝑝𝑝 − 𝑥𝑥 30 31 = 0 se tiene 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 ⟹ 𝑝𝑝 = 𝐶𝐶𝑥𝑥 (∗∗) Reemplazando (**) en (*) tenemos 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟖𝟖𝑪𝑪 Ahora, si 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 = 0 se tiene 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 = 0 ⟹ 𝑝𝑝 = −16𝑥𝑥Z (∗∗) Reemplazando (**) en (*) tenemos 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒/𝟑𝟑 Ejercicios 2.10 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦´ − 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑦𝑦´) 2. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦´ − (𝑦𝑦´)D 3. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦´ + 1 + (𝑦𝑦´)= 4. 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦´ ND − 𝑦𝑦´ 5. 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦´𝑒𝑒=4´ 93 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Multiplicamos por 𝑝𝑝D 𝑝𝑝B = 𝑝𝑝D𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 16𝑝𝑝𝑥𝑥 + 16𝑥𝑥= 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 Agrupando los términos tenemos 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 𝑝𝑝 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 De donde 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 = 0 𝑜𝑜 𝑝𝑝 − 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 Si 𝑝𝑝 − 𝑥𝑥 30 31 = 0 se tiene 𝑝𝑝 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑑𝑑𝑥𝑥 ⟹ 𝑝𝑝 = 𝐶𝐶𝑥𝑥 (∗∗) Reemplazando (**) en (*) tenemos 𝟐𝟐𝟐𝟐 = 𝑪𝑪𝒙𝒙𝟐𝟐 − 𝟖𝟖𝑪𝑪 Ahora, si 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 = 0 se tiene 𝑝𝑝D + 16𝑥𝑥 = 0 ⟹ 𝑝𝑝 = −16𝑥𝑥Z (∗∗) Reemplazando (**) en (*) tenemos 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 𝟒𝟒𝟑𝟑 𝒙𝒙𝟒𝟒/𝟑𝟑 Ejercicios 2.10 Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales 1. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦´ − 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑠𝑠(𝑦𝑦´) 2. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦´ − (𝑦𝑦´)D 3. 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥𝑦𝑦´ + 1 + (𝑦𝑦´)= 4. 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦´ ND − 𝑦𝑦´ 5. 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦´𝑒𝑒=4´ CAPÍTULO 3 Aplicaciones de las Ecuaciones diferenciales de primer orden 94 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN UNIDAD III 3.1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.1.1. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Dado una curva suave 𝐶𝐶 ⊂ ℝ descrita por 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), al considerar un punto de la curva 𝑃𝑃Q 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ∈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥), en la figura 18 se puede determinar los siguientes elementos geométricos. Figura 18. Aplicaciones geométricas de las EDOs Fuente. Autores ü La pendiente de la recta tangente (𝒕𝒕) 𝑚𝑚u = 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 '3 = 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) ü La ecuación de la recta tangente se determina al aplicar punto 𝑃𝑃Q 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q y pendiente 𝑚𝑚u 𝑡𝑡: 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q (3.1) ü La pendiente de la recta normal (𝒏𝒏), por la condición de perpendicularidad entre la tangente y la normal se tiene 𝑚𝑚I = − 1 𝑚𝑚u = − 1 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) ü La ecuación de la recta normal 𝑛𝑛: 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − 1 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q (3.2) Ahora se determina el punto 𝐴𝐴 que es la intersección entre la recta tangente (𝑡𝑡) y el eje 𝑥𝑥. 𝐴𝐴 = 𝑡𝑡 ∩ 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⇒ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q 𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑦𝑦 = 0 Es decir, las coordenadas del punto A están dadas por 𝐴𝐴 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) , 0 Ahora se determina el punto 𝐵𝐵 que es la intersección entre la recta normal (𝑛𝑛) y el eje 𝑥𝑥. 𝐵𝐵 = 𝑛𝑛 ∩ 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⇒ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − 1 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q 𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑦𝑦 = 0 Es decir, las coordenadas del punto B están dadas por 𝐵𝐵 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q , 0 Para determinar las diferentes longitudes, se procede a calcular la distancia entre dos puntos. v Longitud de la tangente 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑨𝑨 denota con 𝑳𝑳𝑻𝑻 𝑳𝑳𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑨𝑨 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑻𝑻 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 v Longitud de la normal 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑩𝑩 denota con 𝑳𝑳𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑵𝑵 = 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑩𝑩 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 95 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN UNIDAD III 3.1. APLICACIONES DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES DE PRIMER ORDEN 3.1.1. APLICACIONES GEOMÉTRICAS Dado una curva suave 𝐶𝐶 ⊂ ℝ descrita por 𝑦𝑦 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥), al considerar un punto de la curva 𝑃𝑃Q 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ∈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥), en la figura 18 se puede determinar los siguientes elementos geométricos. Figura 18. Aplicaciones geométricas de las EDOs Fuente. Autores ü La pendiente de la recta tangente (𝒕𝒕) 𝑚𝑚u = 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 '3 = 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) ü La ecuación de la recta tangente se determina al aplicar punto 𝑃𝑃Q 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q y pendiente 𝑚𝑚u 𝑡𝑡: 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q (3.1) ü La pendiente de la recta normal (𝒏𝒏), por la condición de perpendicularidad entre la tangente y la normal se tiene 𝑚𝑚I = − 1 𝑚𝑚u = − 1 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) ü La ecuación de la recta normal 𝑛𝑛: 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − 1 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q (3.2) Ahora se determina el punto 𝐴𝐴 que es la intersección entre la recta tangente (𝑡𝑡) y el eje 𝑥𝑥. 𝐴𝐴 = 𝑡𝑡 ∩ 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⇒ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q 𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑦𝑦 = 0 Es decir, las coordenadas del punto A están dadas por 𝐴𝐴 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) , 0 Ahora se determina el punto 𝐵𝐵 que es la intersección entre la recta normal (𝑛𝑛) y el eje 𝑥𝑥. 𝐵𝐵 = 𝑛𝑛 ∩ 𝑒𝑒𝑗𝑗𝑒𝑒 𝑥𝑥 ⇒ 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − 1 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q 𝑦𝑦 = 0 ⇒ 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝑦𝑦 = 0 Es decir, las coordenadas del punto B están dadas por 𝐵𝐵 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q , 0 Para determinar las diferentes longitudes, se procede a calcular la distancia entre dos puntos. v Longitud de la tangente 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑨𝑨 denota con 𝑳𝑳𝑻𝑻 𝑳𝑳𝑻𝑻 = 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑨𝑨 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑻𝑻 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 v Longitud de la normal 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑩𝑩 denota con 𝑳𝑳𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑵𝑵 = 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑩𝑩 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝟐𝟐 − 𝒚𝒚𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 96 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑳𝑳𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 v Longitud de la subtangente 𝑨𝑨𝑪𝑪 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑨𝑨𝑪𝑪 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) Longitud de la subnormal 𝑩𝑩𝑪𝑪 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 = 𝑩𝑩𝑪𝑪 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q ∗ 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q Generalizando estas longitudes en cualquier punto 𝑃𝑃Q 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ∈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥), de la curva 𝐶𝐶, se tiene v Longitud de la tangente 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑨𝑨 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺 𝑳𝑳𝑺𝑺 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′ 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′ 𝟐𝟐 (𝟑𝟑. 𝟑𝟑) v Longitud de la normal 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑩𝑩 𝑳𝑳𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′ 𝟐𝟐 (𝟑𝟑. 𝟒𝟒) v Longitud de la subtangente 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′ (𝟑𝟑. 𝟓𝟓) v Longitud de la subnormal 𝑩𝑩𝑪𝑪 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q ∗ 𝑦𝑦, (𝟑𝟑. 𝟔𝟔) Ejemplo 65 Figura 19. Interpretación geométrica del problema. Fuente. Autores Solución Condiciones del problema se tiene que 𝑵𝑵𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝑴𝑴 ü La ecuación de la recta normal está dado por 𝑛𝑛: 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − 1 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q Para determinar los puntos 𝑀𝑀 𝑦𝑦 𝑁𝑁 debemos intersecar la recta normal con los ejes coordenados, 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑁𝑁 𝑥𝑥 = 0 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − O 49 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q entonces 𝑁𝑁 0 , 1 4, + 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑀𝑀 𝑦𝑦 = 0 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − O 4, (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q) entonces 𝑀𝑀 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦, , 0 Como 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es punto medio, se tiene 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 2 , 𝑁𝑁 2 La normal en el punto 𝐏𝐏(𝐱𝐱, 𝐲𝐲) de una curva corta el eje de las 𝒙𝒙 en un punto 𝑴𝑴 y al eje de las 𝒚𝒚 en un punto 𝑵𝑵, como se muestra en la figura 19. Hallar la ecuación de las curvas para las cuales punto 𝐏𝐏(𝐱𝐱, 𝐲𝐲) es el punto medio del segmento 𝑴𝑴𝑵𝑵. 97 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑳𝑳𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 v Longitud de la subtangente 𝑨𝑨𝑪𝑪 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑨𝑨𝑪𝑪 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q + 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′(𝑥𝑥Q) Longitud de la subnormal 𝑩𝑩𝑪𝑪 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 = 𝑩𝑩𝑪𝑪 = 𝒙𝒙𝟎𝟎 − 𝑥𝑥Q − 𝑦𝑦Q𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝟐𝟐 − 𝟎𝟎 − 0 𝟐𝟐 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q ∗ 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q Generalizando estas longitudes en cualquier punto 𝑃𝑃Q 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ∈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥), de la curva 𝐶𝐶, se tiene v Longitud de la tangente 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑨𝑨 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺 𝑳𝑳𝑺𝑺 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′ 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′ 𝟐𝟐 (𝟑𝟑. 𝟑𝟑) v Longitud de la normal 𝑷𝑷𝟎𝟎𝑩𝑩 𝑳𝑳𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q 𝟏𝟏 + 𝑦𝑦′ 𝟐𝟐 (𝟑𝟑. 𝟒𝟒) v Longitud de la subtangente 𝑨𝑨𝑪𝑪 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑦𝑦Q 𝑦𝑦′ (𝟑𝟑. 𝟓𝟓) v Longitud de la subnormal 𝑩𝑩𝑪𝑪 denota con 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑵𝑵 = 𝑦𝑦Q ∗ 𝑦𝑦, (𝟑𝟑. 𝟔𝟔) Ejemplo 65 Figura 19. Interpretación geométrica del problema. Fuente. Autores Solución Condiciones del problema se tiene que 𝑵𝑵𝑷𝑷 = 𝑷𝑷𝑴𝑴 ü La ecuación de la recta normal está dado por 𝑛𝑛: 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − 1 𝑦𝑦, 𝑥𝑥Q 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q Para determinar los puntos 𝑀𝑀 𝑦𝑦 𝑁𝑁 debemos intersecar la recta normal con los ejes coordenados, 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑁𝑁 𝑥𝑥 = 0 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − O 49 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q entonces 𝑁𝑁 0 , 1 4, + 𝑦𝑦 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑑𝑃𝑃𝑑𝑑𝑑𝑑𝑛𝑛𝑃𝑃𝑃𝑃 𝑑𝑑𝑒𝑒 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑛𝑛𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑀𝑀 𝑦𝑦 = 0 𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = − O 4, (𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q) entonces 𝑀𝑀 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦, , 0 Como 𝑃𝑃(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) es punto medio, se tiene 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 2 , 𝑁𝑁 2 La normal en el punto 𝐏𝐏(𝐱𝐱, 𝐲𝐲) de una curva corta el eje de las 𝒙𝒙 en un punto 𝑴𝑴 y al eje de las 𝒚𝒚 en un punto 𝑵𝑵, como se muestra en la figura 19. Hallar la ecuación de las curvas para las cuales punto 𝐏𝐏(𝐱𝐱, 𝐲𝐲) es el punto medio del segmento 𝑴𝑴𝑵𝑵. 98 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Se considera la coordenada en 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 2 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦′ 2 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦′ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦′ Separar variables 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 Al integrar 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑥𝑥= 2 = 𝑦𝑦= 2 + 𝑐𝑐 De donde se tiene que la curva está dada por 𝑥𝑥= − 𝑦𝑦= = 𝑐𝑐 Ahora se resuelve considerando la coordenada en 𝑦𝑦. 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 2 , 𝑁𝑁 2 Entonces 𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 2 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦′ 𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 Al integrar 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦= 2 = 𝑥𝑥= 2 + 𝑐𝑐 De donde se tiene que la curva está dada por 𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= = 𝑐𝑐 Ejemplo 66 Figura 20. Visualización del problema en Geogebra Fuente. Autores Solución Por condición de problema se tiene que 𝐹𝐹𝐸𝐸 = 2 Pero el segmento 𝐹𝐹𝐸𝐸 representa la longitud de la recta subtangente; es decir, 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑦𝑦 𝑦𝑦′ = 𝟐𝟐 (𝟏𝟏) Se tiene 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⇒ 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⇒ 2 ln 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Como la curva pasa por el punto 𝐴𝐴 0,2 entonces 2 ln 2 = 0 + 𝐶𝐶 de donde 𝐶𝐶 = 2ln (2) Por lo tanto, la solución del problema está dada por la ecuación 2 ln 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 + 2ln (2) 𝑦𝑦= = 𝑒𝑒1¨); (B) 𝑦𝑦= = 4𝑒𝑒1 Determinar la curva que pasa por el punto A(0,2) tal que la proyección de la tangente sobre el eje 𝒙𝒙 siempre tenga una longitud de 2. (Figura 20) 99 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Se considera la coordenada en 𝑥𝑥 𝑥𝑥 = 𝑀𝑀 2 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦′ 2 2𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦′ 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦𝑦𝑦′ Separar variables 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 Al integrar 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑥𝑥= 2 = 𝑦𝑦= 2 + 𝑐𝑐 De donde se tiene que la curva está dada por 𝑥𝑥= − 𝑦𝑦= = 𝑐𝑐 Ahora se resuelve considerando la coordenada en 𝑦𝑦. 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑀𝑀 2 , 𝑁𝑁 2 Entonces 𝑦𝑦 = 𝑁𝑁 2 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑦𝑦′ + 𝑦𝑦 2 2𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦𝑦𝑦′ 𝑦𝑦𝑦𝑦′ = 𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 Al integrar 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦= 2 = 𝑥𝑥= 2 + 𝑐𝑐 De donde se tiene que la curva está dada por 𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= = 𝑐𝑐 Ejemplo 66 Figura 20. Visualización del problema en Geogebra Fuente. Autores Solución Por condición de problema se tiene que 𝐹𝐹𝐸𝐸 = 2 Pero el segmento 𝐹𝐹𝐸𝐸 representa la longitud de la recta subtangente; es decir, 𝑳𝑳𝑺𝑺𝑺𝑺 = 𝑦𝑦 𝑦𝑦′ = 𝟐𝟐 (𝟏𝟏) Se tiene 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⇒ 2 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ⇒ 2 ln 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 + 𝐶𝐶 Como la curva pasa por el punto 𝐴𝐴 0,2 entonces 2 ln 2 = 0 + 𝐶𝐶 de donde 𝐶𝐶 = 2ln (2) Por lo tanto, la solución del problema está dada por la ecuación 2 ln 𝑦𝑦 = 𝑑𝑑 + 2ln (2) 𝑦𝑦= = 𝑒𝑒1¨); (B) 𝑦𝑦= = 4𝑒𝑒1 Determinar la curva que pasa por el punto A(0,2) tal que la proyección de la tangente sobre el eje 𝒙𝒙 siempre tenga una longitud de 2. (Figura 20) 100 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 67 De acuerdo al enunciado del problema, se realiza un bosquejo del problema para identificar elementos geométricos y plantear las correspondientes relaciones. (Figura21) Figura 21. Interpretación gráfica del problema en Geogebra Fuente. Autores Solución Tomando el segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 como la normal, se infiere que este segmento es igual al segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴, que comprende el punto A(x,y) y el origen O(0,0). En este sentido se requiere determinar la distancia 𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝐴𝐴𝐴𝐴 para posteriormente igualarlas. Distancia 𝐴𝐴𝐴𝐴 Ecuación de la normal: 0 0 1 ( ) ' y y x x y − = − − (1) Hallar la curva, para la cual, la normal a cualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto hasta el origen de coordenadas. 101 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 67 De acuerdo al enunciado del problema, se realiza un bosquejo del problema para identificar elementos geométricos y plantear las correspondientes relaciones. (Figura21) Figura 21. Interpretación gráfica del problema en Geogebra Fuente. Autores Solución Tomando el segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴 como la normal, se infiere que este segmento es igual al segmento 𝐴𝐴𝐴𝐴, que comprende el punto A(x,y) y el origen O(0,0). En este sentido se requiere determinar la distancia 𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝐴𝐴𝐴𝐴 para posteriormente igualarlas. Distancia 𝐴𝐴𝐴𝐴 Ecuación de la normal: 0 0 1 ( ) ' y y x x y − = − − (1) Hallar la curva, para la cual, la normal a cualquiera de sus puntos es igual a la distancia desde este punto hasta el origen de coordenadas. Tomando al punto B en el eje x como B(x,0), se procede a determinar la abscisa 𝑥𝑥, despejándola de (1), con y=0. 0 0 0 0 0 0 10 ( ) ' ( ') ' y x x y y y x x x y y x − = − − = − = + Entonces las coordenadas son 0 0( ' ,0)B y y x+ Se procede a determinar la distancia entre los puntos ( , )A x y y 0 0( ' ,0)B y y x+ 2 2 2 2 2 ( ( ')) ( 0) ( ( ') ) AB x x yy y AB y y y = − + + − = + Distancia 𝐴𝐴𝐴𝐴 Se determina la distancia entre los puntos ( , )A x y y (0,0)C 2 2 2 2 ( 0) ( 0)AB x y AB x y = − + − = + Al igualar las distancias 𝐴𝐴𝐴𝐴 y 𝐴𝐴𝐴𝐴 : 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ( ') ( ') ( ') AB AC y y y x y y y x y y x = + = + = = 'yy x= (2) 'yy x= − (3) Al resolver la ecuación (2) se tiene la siguiente solución 2 2 ' 2 2 yy x ydy xdx y x c = = = + 102 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Solución 1: 2 2y x C− = Al resolver la ecuación (3) se tiene la siguiente solución Solución 2: 2 2 2 2 ' 2 2 yy x ydy xdx y x c x y C = − = − = − + + = Ejemplo 68 Figura 22. Animación del problema mediante Geogebra Fuente. Autores Solución Datos: 𝐿𝐿<' = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐴𝐴 0,1 ∧ 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝐿𝐿<' = 1 + (𝑦𝑦,)= 𝑑𝑑𝑥𝑥 13 Q (1) Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥13 Q (2) Una curva que se halla en el primer cuadrante pasa por el punto 𝑨𝑨(𝟎𝟎, 𝟏𝟏), si la longitud del arco comprendido entre 𝑨𝑨(𝟎𝟎, 𝟏𝟏) y un punto de la curva 𝑷𝑷(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) es numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje “𝑿𝑿”, el eje “𝒀𝒀” y la coordenada del punto 𝑷𝑷(𝒙𝒙, 𝒚𝒚), como se muestra en la figura 22. Encontrar la ecuación de la curva. 103 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Solución 1: 2 2y x C− = Al resolver la ecuación (3) se tiene la siguiente solución Solución 2: 2 2 2 2 ' 2 2 yy x ydy xdx y x c x y C = − = − = − + + = Ejemplo 68 Figura 22. Animación del problema mediante Geogebra Fuente. Autores Solución Datos: 𝐿𝐿<' = Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝐴𝐴 0,1 ∧ 𝑃𝑃 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 ∈ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) 𝐿𝐿<' = 1 + (𝑦𝑦,)= 𝑑𝑑𝑥𝑥 13 Q (1) Á𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥13 Q (2) Una curva que se halla en el primer cuadrante pasa por el punto 𝑨𝑨(𝟎𝟎, 𝟏𝟏), si la longitud del arco comprendido entre 𝑨𝑨(𝟎𝟎, 𝟏𝟏) y un punto de la curva 𝑷𝑷(𝒙𝒙, 𝒚𝒚) es numéricamente igual al área limitada por la curva, el eje “𝑿𝑿”, el eje “𝒀𝒀” y la coordenada del punto 𝑷𝑷(𝒙𝒙, 𝒚𝒚), como se muestra en la figura 22. Encontrar la ecuación de la curva. Igualamos las ecuaciones (1) y (2) 1 + (𝑦𝑦,)= 𝑑𝑑𝑑𝑑 13 Q = 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 13 Q 1 + (𝑦𝑦,)= = 𝑦𝑦 1 + (𝑦𝑦,)= = 𝑦𝑦= (𝑦𝑦,)= = 𝑦𝑦= − 1 𝑦𝑦, = 𝑦𝑦= − 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑦𝑦= − 1 Separando variables 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦= − 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Al integrar 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦= − 1 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 Se aplica el método de integración por sustitución trigonométrica Sea: 𝑦𝑦 = sec 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝑦𝑦 = sec 𝜃𝜃 tan 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 Entonces sec 𝜃𝜃 𝑑𝑑𝜃𝜃 = 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln sec 𝜃𝜃 + tan 𝜃𝜃 = 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 (3) Sustituir 𝜃𝜃 en (3) ln 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= − 1 = 𝑑𝑑 + 𝑐𝑐 (4) 𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶𝐶 𝐴𝐴 0,1 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝐶𝐶𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑑𝑑 = 0 ∧ 𝑦𝑦 = 1 104 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Reemplazar “x” e “y” en (4), se tiene ln(1) = 𝑐𝑐 𝑐𝑐 = 0 Sustituir c en (4) ln 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= − 1 = 𝑥𝑥 Por propiedades del logaritmo 𝑒𝑒); 4¨ 4 2NO = 𝑒𝑒1 Se despeja “y” 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= − 1 = 𝑒𝑒1 𝑦𝑦= − 1 = 𝑒𝑒1 − 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦= − 1 = 𝑒𝑒=1 − 2𝑦𝑦𝑒𝑒1 + 𝑦𝑦= −1 = 𝑒𝑒=1 − 2𝑦𝑦𝑒𝑒1 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒1 + 𝑒𝑒N1 2 Por lo tanto, la curva que satisface las condiciones del problema está dado por: 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒1 + 𝑒𝑒N1 2 Ejemplo 69 Datos: Pasa por el punto 𝐴𝐴(2,0) 𝑃𝑃 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ≡ P(x, y) 𝑁𝑁𝑃𝑃 = 2 Hallar la línea que pase por el punto 𝑨𝑨(𝟐𝟐, 𝟎𝟎) y cuya propiedad sea la siguiente: el segmento de la tangente entre el punto de contacto 𝑵𝑵 y el eje de las ordenadas tiene longitud constante e igual a 𝟐𝟐. (Figura 23) 105 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Reemplazar “x” e “y” en (4), se tiene ln(1) = 𝑐𝑐 𝑐𝑐 = 0 Sustituir c en (4) ln 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= − 1 = 𝑥𝑥 Por propiedades del logaritmo 𝑒𝑒); 4¨ 4 2NO = 𝑒𝑒1 Se despeja “y” 𝑦𝑦 + 𝑦𝑦= − 1 = 𝑒𝑒1 𝑦𝑦= − 1 = 𝑒𝑒1 − 𝑦𝑦 = 𝑦𝑦= − 1 = 𝑒𝑒=1 − 2𝑦𝑦𝑒𝑒1 + 𝑦𝑦= −1 = 𝑒𝑒=1 − 2𝑦𝑦𝑒𝑒1 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒1 + 𝑒𝑒N1 2 Por lo tanto, la curva que satisface las condiciones del problema está dado por: 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒1 + 𝑒𝑒N1 2 Ejemplo 69 Datos: Pasa por el punto 𝐴𝐴(2,0) 𝑃𝑃 𝑥𝑥Q, 𝑦𝑦Q ≡ P(x, y) 𝑁𝑁𝑃𝑃 = 2 Hallar la línea que pase por el punto 𝑨𝑨(𝟐𝟐, 𝟎𝟎) y cuya propiedad sea la siguiente: el segmento de la tangente entre el punto de contacto 𝑵𝑵 y el eje de las ordenadas tiene longitud constante e igual a 𝟐𝟐. (Figura 23) Figura 23. Planteamiento del problema en Geogebra Fuente. Autores Solución Las coordenadas del punto 𝑵𝑵 están dadas por Punto 𝑁𝑁 𝑥𝑥 = 0𝑦𝑦 − 𝑦𝑦Q = 𝑦𝑦′(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥Q) Donde 𝑁𝑁(0, 𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦′) La longitud del segmento 𝑁𝑁𝑁𝑁 esta dada por la distancia 𝑁𝑁𝑁𝑁 = (0 − 𝑥𝑥)= + (𝑦𝑦 − 𝑥𝑥𝑦𝑦, − 𝑦𝑦)= Por la condición del problema se tiene 2 = 𝑁𝑁𝑁𝑁 2 = 𝑥𝑥= + (𝑥𝑥𝑦𝑦,)= 4 = 𝑥𝑥= + (𝑥𝑥𝑦𝑦,)= 4 − 𝑥𝑥= = (𝑥𝑥𝑦𝑦,)= 4 − 𝑥𝑥= 𝑥𝑥 = 𝑦𝑦′ 4 − 𝑥𝑥= 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑦𝑦 4 − 𝑥𝑥= 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑦𝑦 + 𝐶𝐶 = ln 1 2 4 − 𝑥𝑥= − 1 − ln 1 2 4 − 𝑥𝑥= + 1 + 4 − 𝑥𝑥= 106 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN La curva buscada pasa por el punto 𝐴𝐴(2,0), entonces satisface su ecuación 0 + 𝐶𝐶 = ln 1 2 4 − 4 − 1 − ln 1 2 4 − 4 + 1 + 4 − 0 𝐶𝐶 = 0 Al determinar la constante de integración se reemplaza en la solución 𝑦𝑦 + 0 = ln 1 2 4 − 𝑥𝑥= − 1 − ln 1 2 4 − 𝑥𝑥= + 1 + 4 − 𝑥𝑥= De donde se tiene 𝑦𝑦 = 4 − 𝑥𝑥= 2 ln 2 − 4 − 𝑥𝑥= 𝑥𝑥 Que representa la solución de la ecuación buscada sujeta a las condiciones dadas en el problema. 3.2. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 3.2.1. Curvas ortogonales De sus estudios de geometría analítica recuerde que dos rectas 𝐿𝐿O y 𝐿𝐿=, que no son paralelas a los ejes coordenados, son perpendiculares si y solo sí sus pendientes respectivas satisfacen la relación 𝑚𝑚O𝑚𝑚= = −1. Por esta razón, las gráficas de 𝑦𝑦 = − O = 𝑥𝑥 + 1 e 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 4 son obviamente perpendiculares. En general, dos curvas 𝐶𝐶O y 𝐶𝐶= se dice que son ortogonales en un punto, si y solo si sus tangentes 𝑇𝑇O y 𝑇𝑇= son perpendiculares en el punto de intersección. Véase la Figura 24. Excepto en el caso en que 𝑇𝑇O y 𝑇𝑇= son paralelos a los ejes coordenados, esto significa que la pendiente de una tangente es la recíproca negativa de la otra. y x 1T 2T 1C 2C Figura 24. Curvas ortogonales Fuente. Autores Ejemplo 70 Demuestre que las curvas 𝐶𝐶O y 𝐶𝐶= definidas por 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥D y 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 4 son ortogonales en su (s) punto (s) de intersección 107 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN La curva buscada pasa por el punto 𝐴𝐴(2,0), entonces satisface su ecuación 0 + 𝐶𝐶 = ln 1 2 4 − 4 − 1 − ln 1 2 4 − 4 + 1 + 4 − 0 𝐶𝐶 = 0 Al determinar la constante de integración se reemplaza en la solución 𝑦𝑦 + 0 = ln 1 2 4 − 𝑥𝑥= − 1 − ln 1 2 4 − 𝑥𝑥= + 1 + 4 − 𝑥𝑥= De donde se tiene 𝑦𝑦 = 4 − 𝑥𝑥= 2 ln 2 − 4 − 𝑥𝑥= 𝑥𝑥 Que representa la solución de la ecuación buscada sujeta a las condiciones dadas en el problema. 3.2. TRAYECTORIAS ORTOGONALES 3.2.1. Curvas ortogonales De sus estudios de geometría analítica recuerde que dos rectas 𝐿𝐿O y 𝐿𝐿=, que no son paralelas a los ejes coordenados, son perpendiculares si y solo sí sus pendientes respectivas satisfacen la relación 𝑚𝑚O𝑚𝑚= = −1. Por esta razón, las gráficas de 𝑦𝑦 = − O = 𝑥𝑥 + 1 e 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 4 son obviamente perpendiculares. En general, dos curvas 𝐶𝐶O y 𝐶𝐶= se dice que son ortogonales en un punto, si y solo si sus tangentes 𝑇𝑇O y 𝑇𝑇= son perpendiculares en el punto de intersección. Véase la Figura 24. Excepto en el caso en que 𝑇𝑇O y 𝑇𝑇= son paralelos a los ejes coordenados, esto significa que la pendiente de una tangente es la recíproca negativa de la otra. y x 1T 2T 1C 2C Figura 24. Curvas ortogonales Fuente. Autores Ejemplo 70 Demuestre que las curvas 𝐶𝐶O y 𝐶𝐶= definidas por 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥D y 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 4 son ortogonales en su (s) punto (s) de intersección Solución En la Figura 25 se ve que los puntos de intersección de las gráficas son 1, 1 y −1,−1 . Ahora bien, la pendiente de la recta tangente a 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥D en un punto cualquiera es 34 31 = 3𝑥𝑥= de modo que 34 31 1BO = 34 31 1BNO = 3 Para obtener 34 31 de la segunda curva se utilizara derivación implícita: 2𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 34 31 = 0 o sea que 34 31 = − 1 D4 y por consiguiente 34 31 O,O = 34 31 NO,N O = − O D Así tanto en 1, 1 como en −1,−1 se tiene que 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 àC . 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 à2 = −1 (-1, -1) y x (1, 1) 31 =m3/12 −=m 3xy = 43 22 =+ yx Figura 25. Trayectoria ortogonal Fuente. Autores Es fácil demostrar que cualquier curva 𝐶𝐶O de la familia 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥D, 𝑐𝑐O ≠ 0, es ortogonal a cada curva 𝐶𝐶= de la familia 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐=, 𝑐𝑐= > 0. La ecuación diferencial de la primera familia es: 34 31 = 3𝑐𝑐O𝑥𝑥= o bien 34 31 = D4 1 ya que 𝑐𝑐O = 4 1Z . Ahora bien, derivar implícitamente 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐= conduce exactamente a la misma ecuación diferencial que la obtenida para 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 4; a saber, 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝑥𝑥 3𝑦𝑦 108 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Consecuentemente, en el punto 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 sobre ambas curvas 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 àC . 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 à2 = 3𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3𝑦𝑦 = −1 Como las pendientes de las tangentes son, cada una, la recíproca negativa de la otra de las curvas 𝐶𝐶O y 𝐶𝐶= se intersecan de manera ortogonal. Esta discusión lleva a la siguiente definición. Ejemplo 71 (a) La gráfica de 𝑦𝑦 = − O = 𝑥𝑥 + 1 es una trayectoria ortogonal de 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 𝑐𝑐O. Las familias 𝑦𝑦 = − O = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐= y 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 𝑐𝑐O son trayectorias ortogonales. (b) La gráfica de 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥D es una trayectoria ortogonal de 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐=. Las familia 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥D y 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐= son trayectorias ortogonales. (c) En la Figura 26 se ve que la familia de rectas por el origen 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥 y la familia de círculos concéntricos con centro en el origen 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝑐𝑐= son trayectorias ortogonales. y x Figura 26. Familia de curvas ortogonales Fuente. Autores Las trayectorias ortogonales aparecen naturalmente en la elaboración de cartas meteorológicas y en el estudio de electricidad y magnetismo. Por ejemplo, en el campo eléctrico que rodea a dos cuerpos da Definición 3.2 TRAYECTORIAS ORTOGONALES Cuando todas las curvas de una familia de curvas 𝐺𝐺(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑐𝑐O) = 0 cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia 𝐻𝐻(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑐𝑐=) = 0, se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de la otra. (Dullius, 2011) 109 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Consecuentemente, en el punto 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 sobre ambas curvas 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 àC . 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 à2 = 3𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 3𝑦𝑦 = −1 Como las pendientes de las tangentes son, cada una, la recíproca negativa de la otra de las curvas 𝐶𝐶O y 𝐶𝐶= se intersecan de manera ortogonal. Esta discusión lleva a la siguiente definición. Ejemplo 71 (a) La gráfica de 𝑦𝑦 = − O = 𝑥𝑥 + 1 es una trayectoria ortogonal de 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 𝑐𝑐O. Las familias 𝑦𝑦 = − O = 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐= y 𝑦𝑦 = 2𝑥𝑥 + 𝑐𝑐O son trayectorias ortogonales. (b) La gráfica de 𝑦𝑦 = 4𝑥𝑥D es una trayectoria ortogonal de 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐=. Las familia 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥D y 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐= son trayectorias ortogonales. (c) En la Figura 26 se ve que la familia de rectas por el origen 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥 y la familia de círculos concéntricos con centro en el origen 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝑐𝑐= son trayectorias ortogonales. y x Figura 26. Familia de curvas ortogonales Fuente. Autores Las trayectorias ortogonales aparecen naturalmente en la elaboración de cartas meteorológicas y en el estudio de electricidad y magnetismo. Por ejemplo, en el campo eléctrico que rodea a dos cuerpos da Definición 3.2 TRAYECTORIAS ORTOGONALES Cuando todas las curvas de una familia de curvas 𝐺𝐺(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑐𝑐O) = 0 cortan ortogonalmente a todas las curvas de otra familia 𝐻𝐻(𝑥𝑥, 𝑦𝑦, 𝑐𝑐=) = 0, se dice que las familias son, cada una, trayectorias ortogonales de la otra. (Dullius, 2011) carga opuesta, las líneas de fuerza son perpendiculares a las curvas equipotenciales (esto es, líneas a lo largo de las cuales el potencial es constante). En la figura 27 las líneas de fuerza se indican mediante líneas punteadas. y x Figura 27. Líneas de Fuerza Fuente. Autores Método general Para encontrara las trayectorias ortogonales de una familia de curvas dada, se halla en primer lugar la ecuación diferencial 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑓𝑓 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 que describe a la familia. La ecuación diferencial de la segunda familia, ortogonal a la familia dada, es pues 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −1 𝑓𝑓 𝑑𝑑, 𝑑𝑑 Ejemplo 72 Hallar las trayectorias ortogonales de la familia de hipérbolas rectangulares. 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O 𝑑𝑑 Solución La derivada de 𝑑𝑑 = nC 1 es 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝑐𝑐O 𝑑𝑑= Reemplazando 𝑐𝑐O por 𝑐𝑐O = 𝑑𝑑𝑑𝑑 se obtiene la ecuación diferencial de la familia dada: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = − 𝑑𝑑 𝑑𝑑 110 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En tal caso, la ecuación diferencial de la familia ortogonal es 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −1 −𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 Se resuelve esta última ecuación por separación de variables: 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 42 = = 12 = + 𝑐𝑐′= o bien 𝑑𝑑= − 𝑑𝑑= = 𝑐𝑐= en donde, por conveniencia, se ha reemplazado 2𝑐𝑐′= por 𝑐𝑐=. Las gráficas de las dos familias se dan en la Figura 28 para diferentes valores de 𝑐𝑐O y 𝑐𝑐=. y x 11 −=c 12 −=c 11 =c 12 =c Figura 28. Curvas ortogonales Fuente. Autores Ejemplo 73 Obtener las trayectorias ortogonales de 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O𝑑𝑑 1 + 𝑑𝑑 Solución Por la regla del cociente se tiene 34 31 = nC O¨1 2 o bien 34 31 = 4 1 O¨1 111 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En tal caso, la ecuación diferencial de la familia ortogonal es 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −1 −𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑 Se resuelve esta última ecuación por separación de variables: 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 42 = = 12 = + 𝑐𝑐′= o bien 𝑑𝑑= − 𝑑𝑑= = 𝑐𝑐= en donde, por conveniencia, se ha reemplazado 2𝑐𝑐′= por 𝑐𝑐=. Las gráficas de las dos familias se dan en la Figura 28 para diferentes valores de 𝑐𝑐O y 𝑐𝑐=. y x 11 −=c 12 −=c 11 =c 12 =c Figura 28. Curvas ortogonales Fuente. Autores Ejemplo 73 Obtener las trayectorias ortogonales de 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐O𝑑𝑑 1 + 𝑑𝑑 Solución Por la regla del cociente se tiene 34 31 = nC O¨1 2 o bien 34 31 = 4 1 O¨1 ya que 𝑐𝑐O = 𝑦𝑦 1 + 𝑥𝑥 𝑥𝑥. La ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es pues 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = − 𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 𝑦𝑦 Nuevamente por separación de variables se tiene 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 1 + 𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = − 𝑥𝑥 + 𝑥𝑥= 𝑑𝑑𝑥𝑥 42 = = − 12 = − 1Z D + 𝑐𝑐′= o bien 3𝑦𝑦= + 3𝑥𝑥= + 2𝑥𝑥D = 𝑐𝑐= Ejemplo 74 Encontrar las trayectorias ortogonales de la familia 1tan ( ) 2 y x y k⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ Solución Despejar la constante k 1tan ( ) 2 1tan ( ) 2 1arctan ( ) 2 2arctan 2arctan y x y k y y k x y y k x y y k x y y k x ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ = +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞ − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 112 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Derivar con respecto a la variable independiente x y despejar dy dx ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 0 1 ' 2 ' 0 '2 ' 0 y x y y x xy y x y x y x xy y y x y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ − =⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟+⎝ ⎠ 2 22 ' 2 '( ) 0xy y y x y− − + = 2 2 2 2 2 ' ( ) ' 2 2 2 xy x y y y dy y dx x x y − + = = − − Aplicar el criterio de ortogonalidad 1dy dydx dx = − 2 2 2 2 dy x y x dx y + − = Resolver la EDO 2 2 2 2 2 2 2 2 dy x x y dx y dy y x x dx y − = + − − = 2 21 2 2 2 dy x xy y dx − − = (1) Aplicar la sustitución: 2z y= (2) 2dz dyy dx dx = 113 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Derivar con respecto a la variable independiente x y despejar dy dx ' 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ' 0 1 ' 2 ' 0 '2 ' 0 y x y y x xy y x y x y x xy y y x y ⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎜ ⎟ − = ⎜ ⎟ +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞− ⎜ ⎟ − =⎜ ⎟ +⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎛ ⎞− − =⎜ ⎟+⎝ ⎠ 2 22 ' 2 '( ) 0xy y y x y− − + = 2 2 2 2 2 ' ( ) ' 2 2 2 xy x y y y dy y dx x x y − + = = − − Aplicar el criterio de ortogonalidad 1dy dydx dx = − 2 2 2 2 dy x y x dx y + − = Resolver la EDO 2 2 2 2 2 2 2 2 dy x x y dx y dy y x x dx y − = + − − = 2 21 2 2 2 dy x xy y dx − − = (1) Aplicar la sustitución: 2z y= (2) 2dz dyy dx dx = 1 2 dy dz dx y dx = (3) Reemplazar (2) y (3) en (1) 2 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 2 2 2 dz x xy z y dx dz x xz dx dz z x x dx ⎛ ⎞ − − =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ − − = − = − 2( 1) 2dz z x x dx + − = − ( ) ( )dz p x z q x dx + = Es una EDO Lineal, por lo que se procede a encontrar el factor integrante: ( ) ( ) p x dxu x e∫= ( 1) ( ) ( ) dx x u x e u x e − − ∫= = Aplicar el método alternativo de resolución: 2 2 ( ) ( ) ( ) ( 2 ) 2 x x x x x u x z u x q x dx e z e x x dx e z e x dx e xdx − − − − − = = − = − ∫ ∫ ∫ ∫ 2xe x dx−∫ xe xdx−∫ Derivar Integrar Derivar Integrar 2x xe− x xe− 2x xe−− 1 xe−− 2 xe− 0 xe− 0 xe−− 114 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN = 2 2 2x x xe x e x e− − −− − − = x xe x e− −− − ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x e z e x e x e e x e c e z e x e x e e x e c e z e x c − − − − − − − − − − − − − − = − − − − − − + = − − − + + + = − + Reemplazar z en términos de “ y ” 2z y= 2 2 2 2 x x x x x e y e x c e x cy e e − − − − − = − + = − + Conjunto de trayectorias ortogonales • Solución: 2 2xy e c x= − Ejemplo 75 Encontrar la trayectoria ortogonal que pase por 𝑃𝑃(1,2), de la familia 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐𝑦𝑦 Solución Despejar la constante de la ecuación 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 Derivar respecto a “x” 𝑦𝑦 2𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 = + 3𝑦𝑦=) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦= = 0 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −2𝑥𝑥𝑦𝑦 3𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= Como la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 115 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN = 2 2 2x x xe x e x e− − −− − − = x xe x e− −− − ( )2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x e z e x e x e e x e c e z e x e x e e x e c e z e x c − − − − − − − − − − − − − − = − − − − − − + = − − − + + + = − + Reemplazar z en términos de “ y ” 2z y= 2 2 2 2 x x x x x e y e x c e x cy e e − − − − − = − + = − + Conjunto de trayectorias ortogonales • Solución: 2 2xy e c x= − Ejemplo 75 Encontrar la trayectoria ortogonal que pase por 𝑃𝑃(1,2), de la familia 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= = 𝑐𝑐𝑦𝑦 Solución Despejar la constante de la ecuación 𝑥𝑥= + 3𝑦𝑦= 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐 Derivar respecto a “x” 𝑦𝑦 2𝑥𝑥 + 6𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 − (𝑥𝑥 = + 3𝑦𝑦=) 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑦𝑦= = 0 2𝑥𝑥𝑦𝑦 + 3𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 0 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −2𝑥𝑥𝑦𝑦 3𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= Como la ecuación diferencial de las trayectorias ortogonales es: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 = −1 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 Entonces 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3𝑑𝑑= − 𝑑𝑑= 2𝑑𝑑𝑑𝑑 (1) Como 𝑀𝑀(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) y 𝑁𝑁(𝑑𝑑, 𝑑𝑑) son funciones homogéneas de grado 2, entonces la ecuación (1) representa una EDO homogénea 𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑑𝑑 2 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢 (3) Sustituir (2) y (3) en (1) 𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 3(𝑢𝑢𝑑𝑑)= − 𝑑𝑑= 2𝑑𝑑 𝑢𝑢𝑑𝑑 2𝑢𝑢𝑑𝑑=(𝑢𝑢𝑑𝑑𝑑𝑑 + 𝑑𝑑𝑑𝑑𝑢𝑢) = (3𝑢𝑢=𝑑𝑑= − 𝑑𝑑=)𝑑𝑑𝑑𝑑 Separando variables 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 2𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢= − 1 Integrando 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 2𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑢𝑢 𝑢𝑢= − 1 ln 𝑑𝑑 = ln 𝑢𝑢= − 1 + 𝑐𝑐 ln 𝑑𝑑 − ln 𝑢𝑢= − 1 = 𝑐𝑐 ln 𝑑𝑑 𝑢𝑢= − 1 = 𝑐𝑐 Por propiedades del logaritmo se tiene 𝑒𝑒); 1 ª2NO = 𝑒𝑒n 𝑑𝑑 𝑢𝑢= − 1 = 𝑘𝑘 (4) Sustituir (2) en (4) 𝑑𝑑 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = − 1 = 𝑘𝑘 𝑘𝑘 = 𝑑𝑑D 𝑑𝑑= − 𝑑𝑑= (5) 116 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Una de las condiciones del problema es que pasa por el punto 𝑃𝑃(1,2) entonces sustituir 𝑥𝑥 = 1 ^ 𝑦𝑦 = 2 en (5) 𝑘𝑘 = (1)D (2)= − (1)= 𝑘𝑘 = 1 3 Sustituir (k) en (5) 1 3 = 𝑥𝑥D 𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= 3𝑥𝑥D = 𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= 𝑦𝑦= = 𝑥𝑥=(3𝑥𝑥 + 1) Por lo tanto, la curva que satisface las condiciones del problema está dada por 𝑦𝑦= = 𝑥𝑥=(3𝑥𝑥 + 1) Ejercicios 3.2 En los problemas del 1-20, obtenga las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada 1. 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥 11.𝑦𝑦 = 1 O¨nC1 2. 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O 12. 𝑦𝑦 = O¨nC1 ONnC1 3. 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥= 132𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 4𝑐𝑐O𝑥𝑥. 4.𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐O = 14.𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 2𝑐𝑐O𝑥𝑥 5. 𝑐𝑐O𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 1 15. 𝑦𝑦D + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O 6.2𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝑐𝑐O= 16.𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= = 𝑐𝑐O𝑥𝑥D 7. 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑒𝑒N1 17. 𝑦𝑦 = nC O¨12 8. 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒nC1 18. 𝑦𝑦 = O nC¨1 117 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Una de las condiciones del problema es que pasa por el punto 𝑃𝑃(1,2) entonces sustituir 𝑥𝑥 = 1 ^ 𝑦𝑦 = 2 en (5) 𝑘𝑘 = (1)D (2)= − (1)= 𝑘𝑘 = 1 3 Sustituir (k) en (5) 1 3 = 𝑥𝑥D 𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= 3𝑥𝑥D = 𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= 𝑦𝑦= = 𝑥𝑥=(3𝑥𝑥 + 1) Por lo tanto, la curva que satisface las condiciones del problema está dada por 𝑦𝑦= = 𝑥𝑥=(3𝑥𝑥 + 1) Ejercicios 3.2 En los problemas del 1-20, obtenga las trayectorias ortogonales de la familia de curvas dada 1. 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥 11.𝑦𝑦 = 1 O¨nC1 2. 3𝑥𝑥 + 4𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O 12. 𝑦𝑦 = O¨nC1 ONnC1 3. 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑥𝑥= 132𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 4𝑐𝑐O𝑥𝑥. 4.𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 𝑐𝑐O = 14.𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 2𝑐𝑐O𝑥𝑥 5. 𝑐𝑐O𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 1 15. 𝑦𝑦D + 3𝑥𝑥=𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O 6.2𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝑐𝑐O= 16.𝑦𝑦= − 𝑥𝑥= = 𝑐𝑐O𝑥𝑥D 7. 𝑦𝑦 = 𝑐𝑐O𝑒𝑒N1 17. 𝑦𝑦 = nC O¨12 8. 𝑦𝑦 = 𝑒𝑒nC1 18. 𝑦𝑦 = O nC¨1 9.𝑦𝑦= = 𝑐𝑐O𝑥𝑥D 19.4𝑦𝑦 + 𝑥𝑥= + 1 + 𝑐𝑐O𝑒𝑒=4 = 0 10. 𝑦𝑦E = 𝑐𝑐O𝑥𝑥F, 𝑎𝑎 y 𝑏𝑏 constantes 20. 𝑦𝑦 = −𝑥𝑥 − 1 + 𝑐𝑐O𝑒𝑒1 3.3. APLICACIONES FÍSICAS DE LAS ECUACIONES LINEALES 3.3.1. CRECIMIENTO Y DECRECIMINETO El problema del valor inicial 31 3u = 𝑘𝑘𝑥𝑥 (1) 𝑥𝑥 𝑡𝑡Q = 𝑥𝑥Q en donde 𝑘𝑘 es una constante, aparece en muchas teorías físicas que involucran crecimiento, o bien, decrecimiento. Por ejemplo, en biología a menudo se observa que la rapidez con que, en cada instante, ciertas bacterias se multiplican, es proporcional al número de bacterias presentes en dicho instante. Para intervalos de tiempo cortos, la magnitud de una población de animales pequeños, como de roedores, puede predecirse con bastante exactitud mediante la solución de (1). La constante 𝑘𝑘 se puede determinar a partir de la solución de la ecuación diferencial usando una medida posterior de la población en el instante 𝑡𝑡O > 𝑡𝑡Q. En física, un problema de valores iníciales como (1) proporciona un modelo para aproximar la cantidad restante de una substancia que se desintegra radiactivamente. La ecuación diferencial en (1) también podría determinar la temperatura de un cuerpo que se enfría. En química, la cantidad restante de una sustancia durante ciertas reacciones también se describe mediante (1). Ejemplo 76 Un cultivo tiene inicialmente una cantidad 𝑁𝑁Q de bacterias. Para 𝑡𝑡 = 1 hora, el número de bacterias medido es D = 𝑁𝑁Q. Si la rapidez de multiplicación es proporcional al número de bacterias presentes, determine el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique Solución Primero se resuelve la ecuación diferencial 3˜ 3u = 𝑘𝑘𝑁𝑁 (2) Sujeta a 𝑁𝑁 0 = 𝑁𝑁Q. Una vez que se ha resuelto este problema, se emplea la condición empírica 𝑁𝑁 1 = D = 𝑁𝑁Q para determinar la constante de proporcionalidad 𝑘𝑘. 118 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ahora bien, (2) es a la vez separable y lineal. Cuando se la lleva a la forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑘𝑘𝑑𝑑 = 0 es posible ver, mediante un simple examen, que el factor integrante es 𝑒𝑒Nvu. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por esté término, de inmediato resulta 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒Nvu𝑑𝑑 = 0 Integrando ambos miembros de la última ecuación 𝑒𝑒Nvu𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 o bien 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑒𝑒vu Para 𝑑𝑑 = 0 se deduce que 𝑑𝑑Q = 𝑐𝑐𝑒𝑒Q = 𝑐𝑐 y por lo tanto 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒vu. Para 𝑑𝑑 = 1 se tiene D = 𝑑𝑑Q = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒v o bien 𝑒𝑒v = D = de donde se obtiene con cuatro cifras decimales, 𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 3 2 = 0.4055 En consecuencia, 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒Q.BQXXu Para determinar el valor de 𝑑𝑑 para el que las bacterias se triplican, despejamos 𝑑𝑑 de 3 𝑑𝑑Q = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒Q.BQXXu Se deduce que 0.4055𝑑𝑑 = ln 3 𝑑𝑑 = ); D Q.BQXX ≈ 2.71 horas. 119 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ahora bien, (2) es a la vez separable y lineal. Cuando se la lleva a la forma 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 − 𝑘𝑘𝑑𝑑 = 0 es posible ver, mediante un simple examen, que el factor integrante es 𝑒𝑒Nvu. Multiplicando ambos miembros de la ecuación por esté término, de inmediato resulta 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒Nvu𝑑𝑑 = 0 Integrando ambos miembros de la última ecuación 𝑒𝑒Nvu𝑑𝑑 = 𝑐𝑐 o bien 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑐𝑐𝑒𝑒vu Para 𝑑𝑑 = 0 se deduce que 𝑑𝑑Q = 𝑐𝑐𝑒𝑒Q = 𝑐𝑐 y por lo tanto 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒vu. Para 𝑑𝑑 = 1 se tiene D = 𝑑𝑑Q = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒v o bien 𝑒𝑒v = D = de donde se obtiene con cuatro cifras decimales, 𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 3 2 = 0.4055 En consecuencia, 𝑑𝑑 𝑑𝑑 = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒Q.BQXXu Para determinar el valor de 𝑑𝑑 para el que las bacterias se triplican, despejamos 𝑑𝑑 de 3 𝑑𝑑Q = 𝑑𝑑Q𝑒𝑒Q.BQXXu Se deduce que 0.4055𝑑𝑑 = ln 3 𝑑𝑑 = ); D Q.BQXX ≈ 2.71 horas. Véase la Figura 29 0N 03N N 71.2=t t ( ) teNtN 4055.00= Figura 29. Solución particular de la EDO Fuente. Autores 3.1.2. Semivida En física se llama semivida (o impropiamente “vida media”) a una medida de la estabilidad de una sustancia radiactiva. La semivida es simplemente el tiempo necesario para que se desintegren la mitad de los átomos en una cantidad inicial 𝐴𝐴Q. Cuanto más larga es la semivida de una sustancia, es más estable. Por ejemplo, la semivida del radio altamente radiactivo es aproximadamente de 1700 años, mientras que el isótopo de uranio que más comúnmente aparece, el U-238, tiene una semivida de cerca de 4 500 000 000 años Ejemplo 77 Un reactor transforma el uranio 238, que es relativamente estable, en el isótopo plutonio 239. Después de 15 años se determina que 0.043% de la cantidad inicial 𝐴𝐴Q de plutonio se ha desintegrado. Determine la semivida de esté isótopo si la rapidez de desintegración es proporcional a la cantidad restante. Solución Sean 𝐴𝐴 𝑡𝑡 la cantidad de plutonio que queda en un instante cualquiera. Como en el Ejemplo 1, la solución del problema del valor inicial 𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘𝐴𝐴 𝐴𝐴 0 = 𝐴𝐴Q es, por consiguiente 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒vu Si 0.043% de los átomos en 𝐴𝐴Q se han desintegrado, queda 99.957% de la sustancia. Para evaluar 𝑘𝑘 se debe resolver 0.99957 𝐴𝐴Q = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒OXv 120 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Por lo tanto, 0.99957 = 𝑒𝑒OXv 15𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 0.99957 𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 0.99957 15 = −0.00002867 De modo que 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒NQ.QQQQ=ºcHu Ahora bien, la semivida es el valor de 𝑡𝑡 para el cual 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = <3 = . Despejando 𝑡𝑡 resulta <3 = = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒NQ.QQQQ=ºcHu o bien O = = 𝑒𝑒NQ.QQQQ=ºcHu −0.00002867𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 1 2 = −𝑙𝑙𝑙𝑙 2 𝑡𝑡 = (I = Q.QQQQ=ºcH ≈ 24.180 años 3.1.3. Determinación de edades por el método del carbono 14 Alrededor de 1950, el químico Willard Libby ideó un método en el cual se usa carbono radiactivo para determinar la edad aproximada de los fósiles. La teoría se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. El cociente de la cantidad de C-14 y la cantidad de carbono ordinario presentes en la atmósfera es constante, y en consecuencia, la proporción de isótopo presente en todos los organismos vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere, la absorción de C-14 cesa. Así, comparando la proporción de C-14 que hay en un fósil con la proporción constante encontrada en la atmósfera es posible obtener una estimación razonable de su edad. El método se basa en que la semivida del C-14 radiactivo es de aproximadamente 5600 años. Por su trabajo, Libby ganó en 1960 el premio Nobel de química. El método de Libby ha sido utilizado para determinar la antigüedad del mobiliario de madera hallado en las tumbas egipcias, así como la de las envolturas de lienzo de los manuscritos del Mar Muerto. Ejemplo 78 Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1 1000 de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil. Solución Nuevamente el punto de partida es 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒vu 121 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Por lo tanto, 0.99957 = 𝑒𝑒OXv 15𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 0.99957 𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 0.99957 15 = −0.00002867 De modo que 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒NQ.QQQQ=ºcHu Ahora bien, la semivida es el valor de 𝑡𝑡 para el cual 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = <3 = . Despejando 𝑡𝑡 resulta <3 = = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒NQ.QQQQ=ºcHu o bien O = = 𝑒𝑒NQ.QQQQ=ºcHu −0.00002867𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 1 2 = −𝑙𝑙𝑙𝑙 2 𝑡𝑡 = (I = Q.QQQQ=ºcH ≈ 24.180 años 3.1.3. Determinación de edades por el método del carbono 14 Alrededor de 1950, el químico Willard Libby ideó un método en el cual se usa carbono radiactivo para determinar la edad aproximada de los fósiles. La teoría se basa en que el isótopo carbono 14 se produce en la atmósfera por la acción de la radiación cósmica sobre el nitrógeno. El cociente de la cantidad de C-14 y la cantidad de carbono ordinario presentes en la atmósfera es constante, y en consecuencia, la proporción de isótopo presente en todos los organismos vivos es la misma que en la atmósfera. Cuando un organismo muere, la absorción de C-14 cesa. Así, comparando la proporción de C-14 que hay en un fósil con la proporción constante encontrada en la atmósfera es posible obtener una estimación razonable de su edad. El método se basa en que la semivida del C-14 radiactivo es de aproximadamente 5600 años. Por su trabajo, Libby ganó en 1960 el premio Nobel de química. El método de Libby ha sido utilizado para determinar la antigüedad del mobiliario de madera hallado en las tumbas egipcias, así como la de las envolturas de lienzo de los manuscritos del Mar Muerto. Ejemplo 78 Se ha encontrado que un hueso fosilizado contiene 1 1000 de la cantidad original de C-14. Determinar la edad del fósil. Solución Nuevamente el punto de partida es 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒vu Cuando 𝑡𝑡 = 5600 años, 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = <3 = , de lo cual es posible determinar el valor de 𝑘𝑘, como sigue: 𝐴𝐴Q 2 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒XcQQv 5600𝑘𝑘 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 1 2 = −𝑙𝑙𝑙𝑙 2 𝑘𝑘 = − 𝑙𝑙𝑙𝑙 2 5600 = −0.00012378 Por lo tanto 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒NQ.QQQO=DHºu Cuando 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = <3 OQQQ se tiene que 𝐴𝐴Q 1000 = 𝐴𝐴Q𝑒𝑒NQ.QQQO=DHºu consecuentemente, −0.00012378𝑡𝑡 = 𝑙𝑙𝑙𝑙 O OQQQ = −𝑙𝑙𝑙𝑙 1000 𝑡𝑡 = (I OQQQ Q.QQQO=DHº ≈ 55 800 años 3.1.4. Enfriamiento, circuitos eléctricos y mezclas químicas Enfriamiento La ley de Newton del enfriamiento dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura 𝑇𝑇 𝑡𝑡 cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante 𝑇𝑇Q del medio que lo rodea. Esto es, 3. 3u = 𝑘𝑘 𝑇𝑇 − 𝑇𝑇Q (3) en donde 𝑘𝑘 es una constante de proporcionalidad. Ejemplo 79 Al sacar un pastel del horno, su temperatura es de 300Q𝐹𝐹. Tres minutos después, su temperatura es de 200Q𝐹𝐹. ¿Cuánto demorara en enfriarse hasta una temperatura ambiente de 70Q𝐹𝐹? (Figura 30) Solución Se debe resolver el problema de valores iníciales 3. 3u = 𝑘𝑘 𝑇𝑇 − 70 (4) 𝑇𝑇 0 = 300 122 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y determinar el valor de 𝑘𝑘 de modo que 𝑇𝑇 3 = 200 La ecuación (3) es lineal y separable; usando este último procedimiento resulta 𝑑𝑑𝑇𝑇 𝑇𝑇 − 70 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑇𝑇 − 70 = 𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑐𝑐O 𝑇𝑇 − 70 = 𝑐𝑐=𝑒𝑒vu 𝑇𝑇 = 70 + 𝑐𝑐=𝑒𝑒vu Cuando 𝑑𝑑 = 0 se tiene que 𝑇𝑇 = 300, de modo que 300 = 70 + 𝑐𝑐= da 𝑐𝑐= = 230 y, por lo tanto, 𝑇𝑇 = 70 + 230𝑒𝑒vu De 𝑇𝑇 3 = 200 se obtiene 𝑒𝑒Dv = OD =D o bien 𝑘𝑘 = O D 𝑙𝑙𝑙𝑙 OD =D = −0.19018 En consecuencia, 𝑇𝑇 𝑑𝑑 = 70 + 230𝑒𝑒NQ.O·QOºu (5) Por desgracia, (5) no da una solución finita para 𝑇𝑇 𝑑𝑑 = 70 puesto que limu→J 𝑇𝑇 𝑑𝑑 = 70. No obstante, de modo intuitivo se sabe que el pastel alcanzara la temperatura ambiente después de un periodo razonablemente largo de tiempo. ¿Cuánto tiempo significa esto? De todos modos, no debería preocuparnos en lo más mínimo que el modelo (4) no corresponda del todo a nuestra intuición Física. En la tabla 2 se muestra con claridad que el pastel estará casi a la temperatura ambiente después de media hora. Tabla 2. Variación de Temperatura T 70=T t15 30 150 300 Figura 30. Variación de Temperatura Fuente. Autores 𝑇𝑇 𝑑𝑑 𝑑𝑑 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚) 75˛ 74˛ 73˛ 72˛ 71˛ 70.5˛ 20.1 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3 Nota: Elaboración propia 123 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Y determinar el valor de 𝑘𝑘 de modo que 𝑇𝑇 3 = 200 La ecuación (3) es lineal y separable; usando este último procedimiento resulta 𝑑𝑑𝑇𝑇 𝑇𝑇 − 70 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑑𝑑 ln 𝑇𝑇 − 70 = 𝑘𝑘𝑑𝑑 + 𝑐𝑐O 𝑇𝑇 − 70 = 𝑐𝑐=𝑒𝑒vu 𝑇𝑇 = 70 + 𝑐𝑐=𝑒𝑒vu Cuando 𝑑𝑑 = 0 se tiene que 𝑇𝑇 = 300, de modo que 300 = 70 + 𝑐𝑐= da 𝑐𝑐= = 230 y, por lo tanto, 𝑇𝑇 = 70 + 230𝑒𝑒vu De 𝑇𝑇 3 = 200 se obtiene 𝑒𝑒Dv = OD =D o bien 𝑘𝑘 = O D 𝑙𝑙𝑙𝑙 OD =D = −0.19018 En consecuencia, 𝑇𝑇 𝑑𝑑 = 70 + 230𝑒𝑒NQ.O·QOºu (5) Por desgracia, (5) no da una solución finita para 𝑇𝑇 𝑑𝑑 = 70 puesto que limu→J 𝑇𝑇 𝑑𝑑 = 70. No obstante, de modo intuitivo se sabe que el pastel alcanzara la temperatura ambiente después de un periodo razonablemente largo de tiempo. ¿Cuánto tiempo significa esto? De todos modos, no debería preocuparnos en lo más mínimo que el modelo (4) no corresponda del todo a nuestra intuición Física. En la tabla 2 se muestra con claridad que el pastel estará casi a la temperatura ambiente después de media hora. Tabla 2. Variación de Temperatura T 70=T t15 30 150 300 Figura 30. Variación de Temperatura Fuente. Autores 𝑇𝑇 𝑑𝑑 𝑑𝑑 (𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚) 75˛ 74˛ 73˛ 72˛ 71˛ 70.5˛ 20.1 21.3 22.8 24.9 28.6 32.3 Nota: Elaboración propia Ejemplo 80 Un químico desea enfriar desde 80°C hasta 60°C una sustancia contenida en un matraz, se coloca el dispositivo en un recipiente amplio por el que circula agua a 15°C. Se observa que después de 2 minutos la temperatura ha descendido a 70°C. Estimar el tiempo total de enfriamiento. Datos Se considera a 𝑡𝑡 como el tiempo de enfriamiento, y a 𝑥𝑥 como la temperatura, entonces las condiciones del problema son: Ø En t = 0 min se tiene x=80ºC Ø En t = 2 min se tiene x=70ºC Solución Aplicando la Ley de enfriamiento de Newton tenemos 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 − 15 Integrando la ecuación diferencial en función de las condiciones se determina la constante de proporcionalidad. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 15 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑡𝑡 = Q HQ ºQ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 15 ºQ HQ = 𝑘𝑘(𝑡𝑡) Q = 𝑙𝑙𝑙𝑙 55 65 = 2𝑘𝑘 ⇒ 𝑘𝑘 = −0.083527 Para estimar el tiempo total de enfriamiento, se evalúa 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 15 = −0.08 𝑑𝑑𝑡𝑡 u Q cQ ºQ 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 15 ºQ cQ = −0.083527 (𝑡𝑡) Q u 𝑙𝑙𝑙𝑙 45 65 = −0.083527 𝑡𝑡 ⇒ 𝑡𝑡 = 4.40 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚 Conclusión El tiempo necesario para que la temperatura descienda de 80°C hasta 60°C, es de 4.40 minutos. 124 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 81 Un termómetro que marca 75°F se lleva fuera donde la temperatura es de 20°F. Cuatro minutos después el termómetro marca 30°F. Encontrar: a) La lectura del termómetro siete minutos después de que este ha sido llevado al exterior y, b) El tiempo que le toma el termómetro caer desde 75°F hasta más o menos medio grado con respecto a la temperatura del aire. Datos Se considera a 𝑡𝑡 como el tiempo de enfriamiento, y a 𝑥𝑥 como la temperatura, entonces las condiciones del problema son: Ø En t = 0 min se tiene x=75ºC Ø En t = 4 min se tiene x=30ºC Solución Aplicando la Ley de enfriamiento de Newton tenemos 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 − 20 Integrando la ecuación diferencial en función de las condiciones se determina la constante de proporcionalidad. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 20 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑡𝑡 B Q DQ HX 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 20 HX DQ = 𝑘𝑘(𝑡𝑡) Q B 𝑙𝑙𝑙𝑙 10 55 = 4𝑘𝑘 ⇒ 𝑘𝑘 = −0.4262 a) La lectura del termómetro siete minutos después de que este ha sido llevado al exterior, 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 20 = −0.4262 𝑑𝑑𝑡𝑡 H Q 1 HX 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 20 HX 1 = −0.4262 (𝑡𝑡) Q H 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 20 55 = −0.4262 7 ⇒ 𝑥𝑥 = 22.78 °𝐶𝐶 125 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ejemplo 81 Un termómetro que marca 75°F se lleva fuera donde la temperatura es de 20°F. Cuatro minutos después el termómetro marca 30°F. Encontrar: a) La lectura del termómetro siete minutos después de que este ha sido llevado al exterior y, b) El tiempo que le toma el termómetro caer desde 75°F hasta más o menos medio grado con respecto a la temperatura del aire. Datos Se considera a 𝑡𝑡 como el tiempo de enfriamiento, y a 𝑥𝑥 como la temperatura, entonces las condiciones del problema son: Ø En t = 0 min se tiene x=75ºC Ø En t = 4 min se tiene x=30ºC Solución Aplicando la Ley de enfriamiento de Newton tenemos 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑥𝑥 − 20 Integrando la ecuación diferencial en función de las condiciones se determina la constante de proporcionalidad. 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 20 = 𝑘𝑘 𝑑𝑑𝑡𝑡 B Q DQ HX 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 20 HX DQ = 𝑘𝑘(𝑡𝑡) Q B 𝑙𝑙𝑙𝑙 10 55 = 4𝑘𝑘 ⇒ 𝑘𝑘 = −0.4262 a) La lectura del termómetro siete minutos después de que este ha sido llevado al exterior, 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑥𝑥 − 20 = −0.4262 𝑑𝑑𝑡𝑡 H Q 1 HX 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 20 HX 1 = −0.4262 (𝑡𝑡) Q H 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑥𝑥 − 20 55 = −0.4262 7 ⇒ 𝑥𝑥 = 22.78 °𝐶𝐶 b) El tiempo que le toma el termómetro caer desde 75°F hasta más o menos medio grado con respecto a la temperatura del aire. 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑 − 20 = −0.4262 𝑑𝑑𝑑𝑑 u Q =Q.X HX 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑑𝑑 − 20 HX =Q.X = −0.4262 (𝑑𝑑) Q u 𝑙𝑙𝑙𝑙 0.5 55 = −0.4262 𝑑𝑑 ⇒ 𝑑𝑑 = 11.03 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑙𝑙𝑚𝑚𝑑𝑑𝑚𝑚𝑚𝑚 Conclusión El tiempo necesario para que la temperatura descienda desde 75°F hasta más o menos medio grado con respecto a la temperatura del aire, es de 11.03 minutos. Circuito eléctrico L-R en serie La segunda Ley de Kirchoff dice que en un circuito en serie que contiene sólo una resistencia y una inductancia, la suma de las caídas de voltaje a través del inductor 𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑚𝑚 𝑑𝑑𝑑𝑑 y del resistor 𝑚𝑚𝑖𝑖 es igual a la tensión 𝐸𝐸 𝑑𝑑 aplicada al circuito, Véase la Figura 31. Se obtiene así la ecuación diferencial lineal para la corriente 𝑚𝑚 𝑑𝑑 . 𝐿𝐿 3T 3u + 𝑖𝑖T = 𝐸𝐸 𝑑𝑑 , (6) L R E Figura 31. Circuito L-R en serie Fuente. Autores en donde 𝐿𝐿 y 𝑖𝑖 son constantes conocidas como inductancia y resistencia, respectivamente. A veces, a la corriente 𝑚𝑚 𝑑𝑑 se la llama respuesta del sistema Circuito eléctrico R-C en serie La caída del voltaje a través de un capacitador con capacitancia 𝐶𝐶 esta dada por 𝑞𝑞(𝑑𝑑) 𝐶𝐶, en donde 𝑞𝑞 es la carga en el capacitador (o condensador). Por consiguiente, para el circuito en serie mostrado en la Figura 32, la segunda ley de Kirchoff da: 126 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN C R E Figura 32. Circuito R-C en serie Fuente. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dennis Zill 𝑅𝑅T + O à 𝑞𝑞 = 𝐸𝐸 𝑡𝑡 (7) Pero la corriente 𝑖𝑖 y la carga 𝑞𝑞 están relacionados por 𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡; por lo tanto, (7) se transforma en la ecuación diferencial lineal. 𝑅𝑅 3L 3u + O à 𝑞𝑞 = 𝐸𝐸 𝑡𝑡 (8) Ejemplo 82 Una batería de 12 V (volts) se conecta a un circuito simple en serie en la cual la inductancia es 1 2 H (henrys), y la resistencia, de 10 Ω (ohms). Determinar la corriente 𝑖𝑖 si la intensidad inicial es cero. Solución De (6) vemos que se debe resolver 1 2 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 10𝑖𝑖 = 12 sujeta a 𝑖𝑖 0 = 0. Primero multiplíquese la ecuación diferencial por 2 y dedúzcase que el factor integrante es 𝑒𝑒=Qu. Luego se obtiene así 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑒𝑒=Qu𝑖𝑖 = 24𝑒𝑒=Qu 𝑒𝑒=Qu𝑖𝑖 = 24 20 𝑒𝑒=Qu + 𝑐𝑐 𝑖𝑖 = 6 5 + 𝑐𝑐𝑒𝑒N=Qu Ahora bien, 𝑖𝑖 0 = 0 implica 0 = 6 5 + 𝑐𝑐, o bien 𝑐𝑐 = −6 5. Por lo tanto, la respuesta es 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 6 5 − 6 5 𝑒𝑒N=Qu que resulta en amperes (A). 127 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN C R E Figura 32. Circuito R-C en serie Fuente. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dennis Zill 𝑅𝑅T + O à 𝑞𝑞 = 𝐸𝐸 𝑡𝑡 (7) Pero la corriente 𝑖𝑖 y la carga 𝑞𝑞 están relacionados por 𝑖𝑖 = 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡; por lo tanto, (7) se transforma en la ecuación diferencial lineal. 𝑅𝑅 3L 3u + O à 𝑞𝑞 = 𝐸𝐸 𝑡𝑡 (8) Ejemplo 82 Una batería de 12 V (volts) se conecta a un circuito simple en serie en la cual la inductancia es 1 2 H (henrys), y la resistencia, de 10 Ω (ohms). Determinar la corriente 𝑖𝑖 si la intensidad inicial es cero. Solución De (6) vemos que se debe resolver 1 2 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 10𝑖𝑖 = 12 sujeta a 𝑖𝑖 0 = 0. Primero multiplíquese la ecuación diferencial por 2 y dedúzcase que el factor integrante es 𝑒𝑒=Qu. Luego se obtiene así 𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 𝑒𝑒=Qu𝑖𝑖 = 24𝑒𝑒=Qu 𝑒𝑒=Qu𝑖𝑖 = 24 20 𝑒𝑒=Qu + 𝑐𝑐 𝑖𝑖 = 6 5 + 𝑐𝑐𝑒𝑒N=Qu Ahora bien, 𝑖𝑖 0 = 0 implica 0 = 6 5 + 𝑐𝑐, o bien 𝑐𝑐 = −6 5. Por lo tanto, la respuesta es 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = 6 5 − 6 5 𝑒𝑒N=Qu que resulta en amperes (A). Términos transitorios y estacionarios La ecuación (7) en la sección 2.4 permite escribir de inmediato una solución general de (6) 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = ®˚(M N)O P 𝑒𝑒 Q P u𝐸𝐸 𝑡𝑡 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑐𝑐𝑒𝑒N(Q P)u (9) En particular, cuando 𝐸𝐸 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸Q es una constante, (9) se transforma en 𝑖𝑖 𝑡𝑡 = R3 Q + 𝑐𝑐𝑒𝑒N(Q P)u (10) Nótese que cuando 𝑡𝑡 → ∞, el segundo término de la ecuación (10) tiende a cero. A un término como este se le llama usualmente término transitorio; al término (o a los términos) que resta (n) se le (s) llama parte estacionaria de la solución. En este caso, a 𝐸𝐸Q 𝑅𝑅 también se le denomina corriente estacionaria; para valores grandes de la variable tiempo, la corriente en el circuito se comporta como si estuviese gobernada simplemente por la ley de Ohm 𝐸𝐸 = 𝑖𝑖𝑅𝑅 . Ejemplo 83 Un circuito en serie tiene un resistor y un inductor como se muestra en la figura 33. Determine una ecuación diferencial para la corriente 𝐢𝐢(𝐭𝐭) si la resistencia es R, la inductancia es L y el voltaje aplicado es 𝐄𝐄(𝐭𝐭). Solución Datos: L = L ∗ 𝑑𝑑𝑖𝑖 𝑑𝑑𝑡𝑡 R = R ∗ i Figura 33. Circuito L-R Fuente. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dennis Zill 128 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑗𝑗𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑜𝑜 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖=𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜= (1) 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖 𝑜𝑜 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜 (2) Se sabe que en un circuito en serie la suma de los voltajes individuales nos da el voltaje total o equivalente 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝐸𝐸𝑖𝑖 + 𝐸𝐸𝑖𝑖 (3) Reemplazando (1) y (2) en (3) 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖=𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜= + 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜 Equivalente a 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑜𝑜 + 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖 Respuesta: Ecuación diferencial para la corriente 𝐢𝐢(𝐭𝐭): 𝑖𝑖 𝑜𝑜 = 1 𝑅𝑅 ∗ 𝐸𝐸 + 𝑒𝑒N Q Pu Ejemplo 84 Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor como se muestra en la figura 34. Determine una ecuación diferencial que exprese la carga 𝐪𝐪(𝐭𝐭) en el capacitor si la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicado es 𝐄𝐄(𝐭𝐭). Solución Datos: 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜 + 1 𝐶𝐶 𝑞𝑞 129 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑗𝑗𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑖𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑜𝑜 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖=𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜= (1) 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑖𝑖𝑒𝑒𝑒𝑒𝑖𝑖𝑒𝑒𝑜𝑜𝑜𝑜𝑖𝑖 𝐸𝐸𝑖𝑖 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖 𝑜𝑜 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜 (2) Se sabe que en un circuito en serie la suma de los voltajes individuales nos da el voltaje total o equivalente 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝐸𝐸𝑖𝑖 + 𝐸𝐸𝑖𝑖 (3) Reemplazando (1) y (2) en (3) 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖=𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜= + 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜 Equivalente a 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝐿𝐿 ∗ 𝑖𝑖𝑖𝑖 𝑖𝑖𝑜𝑜 + 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖 Respuesta: Ecuación diferencial para la corriente 𝐢𝐢(𝐭𝐭): 𝑖𝑖 𝑜𝑜 = 1 𝑅𝑅 ∗ 𝐸𝐸 + 𝑒𝑒N Q Pu Ejemplo 84 Un circuito en serie contiene un resistor y un capacitor como se muestra en la figura 34. Determine una ecuación diferencial que exprese la carga 𝐪𝐪(𝐭𝐭) en el capacitor si la resistencia es R, la capacitancia es C y el voltaje aplicado es 𝐄𝐄(𝐭𝐭). Solución Datos: 𝐸𝐸 𝑜𝑜 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑖𝑖𝑞𝑞 𝑖𝑖𝑜𝑜 + 1 𝐶𝐶 𝑞𝑞 Desarrollo: Figura 34. Circuito eléctrico Fuente. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dennis Zill Se sabe que en un circuito en serie la suma de los voltajes individuales nos da el voltaje total o equivalente 𝐸𝐸 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸𝑞𝑞 + 𝐸𝐸𝑟𝑟 (1) 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑜𝑜𝑡𝑡𝑜𝑜𝑗𝑗𝑒𝑒𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑒𝑒: 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑒𝑒𝑜𝑜 𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑜𝑜𝑐𝑐𝑐𝑐𝑡𝑡𝑜𝑜𝑟𝑟 𝐸𝐸𝑞𝑞 = 1 𝐶𝐶 𝑞𝑞 (2) 𝐸𝐸𝑒𝑒 𝑟𝑟𝑒𝑒𝑒𝑒𝑐𝑐𝑒𝑒𝑡𝑡𝑜𝑜𝑟𝑟 𝐸𝐸𝑟𝑟 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑐𝑐 𝑡𝑡 = 𝑅𝑅 ∗ 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 (3) Reemplazando (3) y (2) en (1) 𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 1𝑞𝑞 𝐶𝐶 = 𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 1𝑞𝑞 𝑅𝑅𝐶𝐶 = 𝑉𝑉 𝑅𝑅 (4) Para integrar buscamos el factor de integración: 𝑐𝑐 𝑡𝑡 = 1 𝑅𝑅𝐶𝐶 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 𝑒𝑒 O Qà3u = 𝑒𝑒 O Qàu Luego multiplicamos por (4) 𝑒𝑒 O Qàu 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 + 𝑒𝑒 O Qàu𝑞𝑞 = 𝑉𝑉 𝑅𝑅 𝑒𝑒 O Qàu (𝑒𝑒 O Qàu𝑞𝑞), = 𝑉𝑉 𝑅𝑅 𝑒𝑒 O Qàu𝑑𝑑𝑡𝑡 130 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑞𝑞𝑒𝑒 O Qàu = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑒𝑒 O Qàu + 𝐾𝐾 𝑞𝑞 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝐾𝐾𝑒𝑒N O Qàu Respuesta: Determine una ecuación diferencial que exprese la carga 𝐪𝐪(𝐭𝐭) 𝑞𝑞 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝐾𝐾𝑒𝑒N O Qàu Problema de mezclas A veces, el mezclar dos líquidos da lugar a una ecuación diferencial lineal de primer orden. En el próximo ejemplo se considera la mezcla de dos soluciones salinas de concentraciones diferentes. Ejemplo 85 Se disuelven inicialmente 50 libras (lb) de salen un gran tanque que contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3 gal/min. Véase la Figura 35. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min? ¿Cuánta después de un tiempo largo? volumen constante: 300 gal Figura 35. Problema de mezclas Fuente. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dennis Zill 131 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝑞𝑞𝑒𝑒 O Qàu = 𝑉𝑉𝑅𝑅𝑅𝑅 𝑅𝑅 𝑒𝑒 O Qàu + 𝐾𝐾 𝑞𝑞 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝐾𝐾𝑒𝑒N O Qàu Respuesta: Determine una ecuación diferencial que exprese la carga 𝐪𝐪(𝐭𝐭) 𝑞𝑞 = 𝑉𝑉𝑅𝑅 + 𝐾𝐾𝑒𝑒N O Qàu Problema de mezclas A veces, el mezclar dos líquidos da lugar a una ecuación diferencial lineal de primer orden. En el próximo ejemplo se considera la mezcla de dos soluciones salinas de concentraciones diferentes. Ejemplo 85 Se disuelven inicialmente 50 libras (lb) de salen un gran tanque que contiene 300 galones (gal) de agua. Se bombea salmuera al tanque a razón de 3 galones por minuto; y luego la solución adecuadamente mezclada se bombea fuera del tanque también a razón de 3 gal/min. Véase la Figura 35. Si la concentración de la solución que entra es de 2 lb/gal, determine la cantidad de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. ¿Cuánta sal hay después de 50 min? ¿Cuánta después de un tiempo largo? volumen constante: 300 gal Figura 35. Problema de mezclas Fuente. Ecuaciones Diferenciales Ordinarias. Dennis Zill Solución Sea 𝐴𝐴(𝑡𝑡) la cantidad de sal (en libras) que hay en el tanque en un instante cualquiera. En problemas de esta clase, la rapidez neta con que 𝐴𝐴(𝑡𝑡) cambia está dada por 3< 3u = 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑟𝑟 𝑙𝑙𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑡𝑡𝑟𝑟𝑟𝑟 – 𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑟𝑟 𝑙𝑙𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑞𝑞𝑠𝑠𝑡𝑡𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑟𝑟𝑟𝑟 𝑠𝑠𝑟𝑟𝑙𝑙𝑟𝑟 = 𝑅𝑅O − 𝑅𝑅= (11) Ahora bien, la rapidez con que la sal entra al tanque es, en libras por minuto, 𝑅𝑅O = 3 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑐𝑐 . 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑙𝑙 = 6 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑐𝑐 en tanto que la rapidez con que la sal sale es 𝑅𝑅= = 3 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑐𝑐 . 𝐴𝐴 300 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑙𝑙 = 𝐴𝐴 100 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑟𝑟𝑐𝑐 En consecuencia, la ecuación (11) se transforma en 3< 3u = 6 − < OQQ (12) la que resolveremos sujeta a la condición inicial 𝐴𝐴 0 = 50 Puesto que el factor integrante es 𝑟𝑟u OQQ, puede escribirse (12) como 𝑟𝑟 𝑟𝑟𝑡𝑡 𝑟𝑟 u OQQ𝐴𝐴 = 6𝑟𝑟 u OQQ Y por lo tanto 𝑟𝑟u OQQ𝐴𝐴 = 600𝑟𝑟u OQQ + 𝑐𝑐 𝐴𝐴 = 600 + 𝑐𝑐𝑟𝑟 Nu OQQ (13) Cuando 𝑡𝑡 = 0 se tiene que 𝐴𝐴 = 50; se halla así que 𝑐𝑐 = −550. Finalmente, se obtiene 𝐴𝐴(𝑡𝑡) = 600 − 550𝑟𝑟 Nu OQQ (14) En la Tabla 2 tenemos para 𝑡𝑡 = 50 se tiene que 𝐴𝐴 50 = 266.41lb. Además, cuando 𝑡𝑡 → ∞, de (14) y de la Figura 36 se puede ver que 𝐴𝐴 → 600. Por supuesto, esto es lo que se esperaría; después de un periodo largo, el número de libras de sal presente en la solución debe ser 300 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑙𝑙 2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑟𝑟𝑙𝑙 = 600 𝑙𝑙𝑙𝑙 132 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Tabla 3. Concentración de la sustancia A 600=A t500 Figura 36. Variación de la concentración de la sustancia Fuente. Autores 𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴(𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚) 50 100 150 200 300 400 266.41 397.67 477.27 525.57 572,62 589.93 Nota: Elaboración propia En el Ejemplo 85 se supuso que la rapidez con que la solución se bombea al tanque es igual a la rapidez con que la solución se bombeó hacia afuera. Sin embargo, esto no tiene por qué ser así; la salmuera mezclada podría ser bombeada hacia afuera con una rapidez mayor o menor que la rapidez con que la otra solución se bombea hacia el interior. La ecuación diferencial que resulta en este último caso es lineal con un coeficiente variable. En el ejemplo anterior, sí la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con una rapidez menor de 2 gal/min, entonces la solución se acumula con una rapidez de 3 − 2 𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Después de 𝑡𝑡 minutos hay 300 + 𝑡𝑡 galones de salmuera en el tanque. En tal caso, la rapidez con que la sal sale es 𝑅𝑅= = 2 𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 . 𝐴𝐴 300 + 𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 = 2𝐴𝐴 300 + 𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Por consiguiente, la ecuación (11) se transforma en 3< 3u = 6 − =< DQQ¨u o bien 3< 3u + =< DQQ¨u = 6 Encontrando el factor integrante y resolviendo la última ecuación resulta 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 2 300 + 𝑡𝑡 + 𝑐𝑐 300 + 𝑡𝑡 N= La condición inicial 𝐴𝐴 0 = 50 da 𝑐𝑐 = −4.95 X 10H; luego 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 2 300 + 𝑡𝑡 − 4.95 X 10H 300 + 𝑡𝑡 N= 133 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Tabla 3. Concentración de la sustancia A 600=A t500 Figura 36. Variación de la concentración de la sustancia Fuente. Autores 𝑡𝑡 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑡𝑡𝑚𝑚𝑚𝑚 𝐴𝐴(𝑙𝑙𝑚𝑚𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑙𝑚𝑚) 50 100 150 200 300 400 266.41 397.67 477.27 525.57 572,62 589.93 Nota: Elaboración propia En el Ejemplo 85 se supuso que la rapidez con que la solución se bombea al tanque es igual a la rapidez con que la solución se bombeó hacia afuera. Sin embargo, esto no tiene por qué ser así; la salmuera mezclada podría ser bombeada hacia afuera con una rapidez mayor o menor que la rapidez con que la otra solución se bombea hacia el interior. La ecuación diferencial que resulta en este último caso es lineal con un coeficiente variable. En el ejemplo anterior, sí la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con una rapidez menor de 2 gal/min, entonces la solución se acumula con una rapidez de 3 − 2 𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 1𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Después de 𝑡𝑡 minutos hay 300 + 𝑡𝑡 galones de salmuera en el tanque. En tal caso, la rapidez con que la sal sale es 𝑅𝑅= = 2 𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 . 𝐴𝐴 300 + 𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑔𝑔𝑙𝑙𝑙𝑙 = 2𝐴𝐴 300 + 𝑡𝑡 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 Por consiguiente, la ecuación (11) se transforma en 3< 3u = 6 − =< DQQ¨u o bien 3< 3u + =< DQQ¨u = 6 Encontrando el factor integrante y resolviendo la última ecuación resulta 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 2 300 + 𝑡𝑡 + 𝑐𝑐 300 + 𝑡𝑡 N= La condición inicial 𝐴𝐴 0 = 50 da 𝑐𝑐 = −4.95 X 10H; luego 𝐴𝐴 𝑡𝑡 = 2 300 + 𝑡𝑡 − 4.95 X 10H 300 + 𝑡𝑡 N= Drenado de un tanque Ejemplo 86 Suponga que está saliendo agua de un tanque a través de un agujero circular de área 𝐀𝐀𝐡𝐡 que está en el fondo. Cuando el agua sale a través del agujero, la fricción y la contracción de la corriente cerca de agujero reducen el volumen de agua que sale del tanque por segundo a “𝑪𝑪.𝑨𝑨𝑨𝑨. 𝟐𝟐𝒈𝒈𝑨𝑨, donde 𝒄𝒄 𝟎𝟎 < 𝒄𝒄 < 𝟏𝟏 es una constante empírica. Determine una ecuación diferencial para la altura 𝐡𝐡 del agua al tiempo 𝐭𝐭 para el tanque cúbico que se muestra en la figura 3.20. El radio del agujero es de 𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒖𝒖𝒖𝒖𝒈𝒈 y 𝒈𝒈 = 𝟑𝟑𝟐𝟐 𝒑𝒑𝒑𝒑𝒆𝒆𝒆𝒆 𝒆𝒆𝒆𝒆𝒈𝒈 . Solución Datos: 𝐴𝐴ℎ. 2𝑔𝑔ℎ, donde 𝑐𝑐 0 < 𝑐𝑐 < 1 El radio del agujero es de 2 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔 𝑔𝑔 = 32 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝/𝑝𝑝𝑝𝑝𝑔𝑔. Figura 37. Drenado de un tanque. Zill (s. f.) Solución La ecuación diferencial es: 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = − 𝐴𝐴` 𝐴𝐴a 2𝑔𝑔ℎ 𝐿𝐿𝑝𝑝𝐿𝐿 𝑑𝑑𝑝𝑝 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑝𝑝𝑐𝑐𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 (1) 𝑉𝑉𝑜𝑜𝑝𝑝𝑝𝑝𝑜𝑜𝑝𝑝𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝 𝐴𝐴𝑔𝑔𝑝𝑝𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑝𝑝𝑝𝑝 𝜕𝜕𝐴𝐴𝑜𝑜𝑡𝑡𝑝𝑝𝑝𝑝 134 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝐶𝐶 → 𝑐𝑐𝜕𝜕𝑐𝑐 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 𝐴𝐴a . 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 𝐴𝐴a . −𝐶𝐶. 𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝐴𝐴` 𝐴𝐴a 2𝑔𝑔ℎ 𝐸𝐸𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑐𝑐, 𝑠𝑠𝑅𝑅𝑠𝑠𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐: 𝑟𝑟𝑅𝑅𝑑𝑑𝑟𝑟𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑔𝑔𝑞𝑞𝑗𝑗𝑐𝑐𝑟𝑟𝑅𝑅 = 2𝑅𝑅𝑞𝑞𝑅𝑅𝑔𝑔. 1 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐 12 𝑅𝑅𝑞𝑞𝑅𝑅𝑔𝑔 = 1 6 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 Área del agujero: 𝐴𝐴` = 𝜋𝜋𝑟𝑟= = 𝜋𝜋 1 6 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 = = 𝜋𝜋 36 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠= (2) Área del cubo contenedor: 𝐴𝐴a = 𝑅𝑅= = 10 = = 100 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠= (3) 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑅𝑅 2 𝑦𝑦 3 e𝑅𝑅 (1) 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝜋𝜋 36 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 = 100 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠= 2 32 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑔𝑔= ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝜋𝜋 3600 64ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝜋𝜋 3600 . 8 ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = − 𝐶𝐶. 𝜋𝜋 450 ℎ 135 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝜕𝜕𝑉𝑉 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝐶𝐶 → 𝑐𝑐𝜕𝜕𝑐𝑐 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 𝐴𝐴a . 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝑑𝑑𝜕𝜕 𝑅𝑅𝑐𝑐𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑅𝑅 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 1 𝐴𝐴a . −𝐶𝐶. 𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝐴𝐴` 𝐴𝐴a 2𝑔𝑔ℎ 𝐸𝐸𝑅𝑅 𝑑𝑑𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑐𝑐, 𝑠𝑠𝑅𝑅𝑠𝑠𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑠𝑠 𝑞𝑞𝑞𝑞𝑐𝑐: 𝑟𝑟𝑅𝑅𝑑𝑑𝑟𝑟𝑅𝑅 𝑅𝑅𝑔𝑔𝑞𝑞𝑗𝑗𝑐𝑐𝑟𝑟𝑅𝑅 = 2𝑅𝑅𝑞𝑞𝑅𝑅𝑔𝑔. 1 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐 12 𝑅𝑅𝑞𝑞𝑅𝑅𝑔𝑔 = 1 6 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 Área del agujero: 𝐴𝐴` = 𝜋𝜋𝑟𝑟= = 𝜋𝜋 1 6 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 = = 𝜋𝜋 36 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠= (2) Área del cubo contenedor: 𝐴𝐴a = 𝑅𝑅= = 10 = = 100 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠= (3) 𝑟𝑟𝑐𝑐𝑐𝑐𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑅𝑑𝑑𝑅𝑅 2 𝑦𝑦 3 e𝑅𝑅 (1) 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝜋𝜋 36 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 = 100 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠= 2 32 𝑅𝑅𝑟𝑟𝑐𝑐𝑠𝑠 𝑠𝑠𝑐𝑐𝑔𝑔= ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝜋𝜋 3600 64ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = −𝐶𝐶. 𝜋𝜋 3600 . 8 ℎ 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = − 𝐶𝐶. 𝜋𝜋 450 ℎ Respuesta: La ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t para el tanque cúbico es: fi` fiu = − à.± BXQ ℎ Ejemplo 87 Del tanque cónico rectangular recto que se muestra en la figura 38 sale el agua por un agujero circular que está en el fondo. Determine una ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo 𝒕𝒕. El radio del agujero es 𝐫𝐫 = 𝟐𝟐 𝐩𝐩𝐮𝐮𝐮𝐮𝐠𝐠, 𝐠𝐠 = 𝟑𝟑𝟐𝟐 𝐩𝐩𝐩𝐩𝐞𝐞𝐞𝐞 𝐞𝐞𝟐𝟐 y el factor de fricción/contracción es 𝒄𝒄 = 𝟎𝟎, 𝟔𝟔 Solución: DATOS r = 2 pulg = 1 6 pies g = 32 pies s= 𝑐𝑐 = 0,6 La ecuación diferencial es: 𝜕𝜕ℎ 𝜕𝜕𝜕𝜕 = − 𝐴𝐴` 𝐴𝐴a 2𝑔𝑔ℎ 𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿𝐿 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝑇𝑇𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑜𝑐𝑐𝐿𝐿𝑜𝑜𝑜𝑜 (1) Relacionamos los radios: ℎ 𝑜𝑜 = 20 8 => 𝑜𝑜 = 2 5 ℎ Figura 38. Drenado de un cono invertido. Zill (s.f.) 136 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN El volumen del cono es: 𝑉𝑉n˙I˙ = 1 3 𝜋𝜋 𝑟𝑟=ℎ 𝑉𝑉n˙I˙ = 1 3 𝜋𝜋 2 5 ℎ = ℎ 𝑉𝑉n˙I˙ = 4 75 𝜋𝜋ℎD 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋 75 3ℎ= 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 25 4𝜋𝜋ℎ= 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝐴𝐴` = 𝑟𝑟=𝜋𝜋 ==> 𝐴𝐴` = 1 6 = 𝜋𝜋 ==> 𝐴𝐴` = 1 36 𝜋𝜋 Reemplazando en (1) tenemos: 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 25 4𝜋𝜋ℎ= −𝑐𝑐𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 25 4𝜋𝜋ℎ= − 0,6 ∗ 1𝜋𝜋 36 64ℎ 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 5 6ℎ D = Respuesta: Ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t: 𝒅𝒅𝒉𝒉 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟓𝟓 𝟔𝟔𝒉𝒉 𝟑𝟑 𝟐𝟐 Modelos matemáticos adicionales Ejemplo 88 Teoría del aprendizaje. En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad que queda por memoriza. Suponga que 𝑀𝑀 denota la cantidad total de un tema que se debe memorizada y que 𝐴𝐴 𝑑𝑑 es la cantidad memorizada al tiempo t. Determine una ecuación diferencial para determinar la cantidad 𝐴𝐴(𝑑𝑑). 137 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN El volumen del cono es: 𝑉𝑉n˙I˙ = 1 3 𝜋𝜋 𝑟𝑟=ℎ 𝑉𝑉n˙I˙ = 1 3 𝜋𝜋 2 5 ℎ = ℎ 𝑉𝑉n˙I˙ = 4 75 𝜋𝜋ℎD 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 4𝜋𝜋 75 3ℎ= 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 25 4𝜋𝜋ℎ= 𝑑𝑑𝑉𝑉 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 = −𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝐴𝐴` = 𝑟𝑟=𝜋𝜋 ==> 𝐴𝐴` = 1 6 = 𝜋𝜋 ==> 𝐴𝐴` = 1 36 𝜋𝜋 Reemplazando en (1) tenemos: 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 25 4𝜋𝜋ℎ= −𝑐𝑐𝐴𝐴` 2𝑔𝑔ℎ 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 25 4𝜋𝜋ℎ= − 0,6 ∗ 1𝜋𝜋 36 64ℎ 𝑑𝑑ℎ 𝑑𝑑𝑑𝑑 = 5 6ℎ D = Respuesta: Ecuación diferencial para la altura h del agua al tiempo t: 𝒅𝒅𝒉𝒉 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟓𝟓 𝟔𝟔𝒉𝒉 𝟑𝟑 𝟐𝟐 Modelos matemáticos adicionales Ejemplo 88 Teoría del aprendizaje. En la teoría del aprendizaje, se supone que la rapidez con que se memoriza algo es proporcional a la cantidad que queda por memoriza. Suponga que 𝑀𝑀 denota la cantidad total de un tema que se debe memorizada y que 𝐴𝐴 𝑑𝑑 es la cantidad memorizada al tiempo t. Determine una ecuación diferencial para determinar la cantidad 𝐴𝐴(𝑑𝑑). Solución Datos 𝑀𝑀 = Cantidad total que se debe memorizar. 𝐴𝐴 𝑡𝑡 Es la cantidad memorizada al tiempo t Desarrollo La propagación de una enfermedad se da mediante la siguiente fórmula: 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘𝑑𝑑𝑘𝑘 Donde 𝑁𝑁 + 𝐴𝐴 = 𝑀𝑀 𝑀𝑀 − 𝐴𝐴 = 𝑁𝑁 La ecuación diferencial es: 𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐾𝐾(𝑀𝑀𝑁𝑁) Respuesta: La ecuación diferencial es: 𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝐾𝐾(𝑀𝑀N) Ejemplo 89 Falta de memoria con los datos del problema anterior suponga que la razón con la cual el material es olvidado es proporcional a la cantidad memorizada al tiempo t. Determine una ecuación diferencial paraA(t), cuando se considera la falta de memoria. Solución: Datos Partiendo del ejercicio anterior tenemos: 𝑑𝑑𝐴𝐴 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘(𝑀𝑀 − 𝐴𝐴 𝑡𝑡 ) Tomando en cuenta el enunciado del ejercicio podemos encontrar una pérdida de memoria la cual plantea lo siguiente P! = Pérdida de memoria. 138 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Tomando en cuenta que q va a ser una constante de la falta de memoria. Donde P! = 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑡𝑡 Desarrollo Con estos datos concluimos que 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑀𝑀 − 𝑞𝑞 𝑡𝑡 − P! Remplazando P! en * 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑀𝑀 − 𝑞𝑞 𝑡𝑡 − 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑡𝑡 Respuesta: La ecuación diferencial es: 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑀𝑀 − 𝑞𝑞 𝑡𝑡 − 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑡𝑡 Ejemplo 90 Suministro de un medicamento. Se inyecta un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente a una razón constante de r gramos por segundo. Simultáneamente, se elimina el medicamento a una razón proporcional a la cantidad x(t) presente al tiempo t. Determine una ecuación diferencial que describa la cantidad x(t). Solución Datos: Razón constante de r gramos por segundo Elimina el medicamento a una razón x t presente al tiempo t Desarrollo: La propagación de una enfermedad se da mediante la siguiente fórmula: 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝑘𝑘. 𝜕𝜕 𝑡𝑡 . 𝑦𝑦 𝑡𝑡 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑦𝑦 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃ó𝑛𝑛 (*) 139 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Tomando en cuenta que q va a ser una constante de la falta de memoria. Donde P! = 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑡𝑡 Desarrollo Con estos datos concluimos que 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑀𝑀 − 𝑞𝑞 𝑡𝑡 − P! Remplazando P! en * 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑀𝑀 − 𝑞𝑞 𝑡𝑡 − 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑡𝑡 Respuesta: La ecuación diferencial es: 𝑑𝑑𝑞𝑞 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑘𝑘 𝑀𝑀 − 𝑞𝑞 𝑡𝑡 − 𝑞𝑞𝑞𝑞 𝑡𝑡 Ejemplo 90 Suministro de un medicamento. Se inyecta un medicamento en el torrente sanguíneo de un paciente a una razón constante de r gramos por segundo. Simultáneamente, se elimina el medicamento a una razón proporcional a la cantidad x(t) presente al tiempo t. Determine una ecuación diferencial que describa la cantidad x(t). Solución Datos: Razón constante de r gramos por segundo Elimina el medicamento a una razón x t presente al tiempo t Desarrollo: La propagación de una enfermedad se da mediante la siguiente fórmula: 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝑡𝑡 = 𝑘𝑘. 𝜕𝜕 𝑡𝑡 . 𝑦𝑦 𝑡𝑡 𝐿𝐿𝐿𝐿𝑦𝑦 𝑑𝑑𝐿𝐿 𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃𝑃ó𝑛𝑛 (*) 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘. 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑘𝑘 > 0 Respuesta: La ecuación diferencial es: 𝜕𝜕𝜕𝜕 𝜕𝜕𝜕𝜕 = 𝑟𝑟 − 𝑘𝑘. 𝜕𝜕 𝜕𝜕 𝑘𝑘 > 0 Modelos físicos Ejemplo 91 Un hombre y un bote pesan juntos 320 lb. Si el empuje del motor es equivalente a 10 lb, en la dirección de movimiento que, si la resistencia del agua al movimiento es numéricamente igual a dos veces la velocidad en, y si el bote está inicialmente en reposo. Encontrar: a) La velocidad del bote al tiempo t b) La velocidad límite Solución Datos: 2 320 320 10 32,2 2 0 10 agua o inicial W peso lb W lbm masa lbftg seg Ra resistencia v Psv Velocidad seg F lb = = = = = = = = = = = Figura 39. Diagrama de cuerpo libre Fuente. Autores 140 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: • El bote está en movimiento, por lo que se procede a aplicar la segunda Ley de Newton para cuerpos en movimiento con aceleración producida por una fuerza externa: 10 2 10 5 5 5 5 x agua F ma dvF R m dt dvv dt dv v dt dv v dt = − = − = = − − = ∑ La última expresión representa una EDO de variable separable, cuya solución está dada por 0 0 0 5 5 5 0.2 0.2 0.2 0.2 5 5 5 5 | 5 | | 5 ( 0)| 5 | [ | 5 0 |] 5 | 5 | | 5 | 5 5 5 5 5 5 55 5 5 ( ) 5(1 ) v t o v t tLn v t t t t dv dt v dv dt v tLn v tLn v Ln tLn Ln v tLn v e e e v v e v e Psv t e seg ⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ − − = − = − − − = − − − − − − = − − = ⎡ ⎤ =⎢ ⎥−⎣ ⎦ = = − − = = − = − ∫ ∫ 141 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Desarrollo: • El bote está en movimiento, por lo que se procede a aplicar la segunda Ley de Newton para cuerpos en movimiento con aceleración producida por una fuerza externa: 10 2 10 5 5 5 5 x agua F ma dvF R m dt dvv dt dv v dt dv v dt = − = − = = − − = ∑ La última expresión representa una EDO de variable separable, cuya solución está dada por 0 0 0 5 5 5 0.2 0.2 0.2 0.2 5 5 5 5 | 5 | | 5 ( 0)| 5 | [ | 5 0 |] 5 | 5 | | 5 | 5 5 5 5 5 5 55 5 5 ( ) 5(1 ) v t o v t tLn v t t t t dv dt v dv dt v tLn v tLn v Ln tLn Ln v tLn v e e e v v e v e Psv t e seg ⎡ ⎤ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ − − = − = − − − = − − − − − − = − − = ⎡ ⎤ =⎢ ⎥−⎣ ⎦ = = − − = = − = − ∫ ∫ Que representa la respuesta del inciso a) • Para determinar el valor límite de la velocidad procedemos a calcular el límite de ( )v t cuando t tiende al infinito [ ] ( ) lim 0.2 lim 0.2 lim 0.2 lim 0.2( ) lim lim lim ( ) lim 5(1 ) 5lim(1 ) 5 lim(1) lim 5 1 5 1 t t t t t t t t v v t v e v e v e v e v e →∞ − →∞ − →∞ − →∞ →∞ − ∞ −∞ = ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ = − ⎡ ⎤= − ⎣ ⎦ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ ⎡ ⎤= −⎣ ⎦ De donde se sabe que la función te tiende a cero cuando se aproxima al infinito negativo, entonces: [ ] [ ] lim lim lim 5 1 0 5 1 5 v v v = − = = Por lo tanto, la velocidad límite del bote es de 5 Ps seg , respuesta del inciso b) Ejercicios 3.3 1. Se sabe que la población de cierta comunidad aumenta, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de personas presentes en dicho instante. Si la población se duplica en 5 años, ¿Cuánto demorará en triplicarse? ¿Cuánto demorará en cuadruplicarse? 2. Suponga que se sabe que la población de la comunidad en el Problema 1 es de 10 000 habitantes después de 3 años. ¿Cuál era la población inicial? ¿Cuál será la población en 10 años? 3. La población de una pequeña ciudad crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad de habitantes en dicho instante. Su población inicial es de 500 aumenta 15 % en 10 años. ¿Cuál será la población dentro de 30 años? 142 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4. La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas que haya en dicho instante. Después de 3 horas se observa que se tienen 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 2000. ¿Cuál es el número inicial de bacterias? 5. El isótopo radiactivo de plomo, Pb-209, se desintegra, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante, y tiene una semivida (o periodo medial) de 3.3. horas. Si inicialmente hay 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho elemento? 6. Inicialmente había 100 miligramos (mg) de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó en 3%. Si la rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera, proporcional a la cantidad de sustancia en dicho instante, halle la cantidad que queda después de 24 horas. 7. Determine la semivida de la sustancia radiactiva descrita en el problema 6. 8. Demuestre en forma general que la semivida de una sustancia radiactiva es 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡= − 𝑡𝑡O 𝑙𝑙𝑙𝑙2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐴𝐴O 𝐴𝐴= En donde 𝐴𝐴O = 𝐴𝐴 𝑡𝑡O y 𝐴𝐴= = 𝐴𝐴 𝑡𝑡= , 𝑡𝑡O < 𝑡𝑡= 9. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con que su intensidad 𝐼𝐼 disminuye es proporcional a 𝐼𝐼 𝑡𝑡 , en donde 𝑡𝑡 representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar límpida, la intensidad a 3 pie bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial 𝐼𝐼Q del rayo incidente. ¿Cuánta es la intensidad del rayo a 15 pie bajo la superficie? 10. Interés compuesto capitalizado continuamente significa que en un instante cualquiera la cantidad 𝑆𝑆 de dinero aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante: 𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑆𝑆, en donde 𝑟𝑟 es la tasa de interés anual. (a) En una cuenta de ahorros se depositan $5000 a un interés compuesto, que se capitaliza continuamente, del 5 3 4 % anual. Calcule la cantidad de dinero acumulada después de 5 años. (b) ¿En cuántos años se duplicará la suma depositada inicialmente? (c) Use una calculadora para comparar el número obtenido en la parte (a) con el valor 𝑆𝑆 = 5000 1 + 0.0575 4 X B Este valor representa la cantidad que se acumularía si el interés se capitalizara trimestralmente 11. En un trozo de madera quemada se encontró que 85.5% del C-14 se había desintegrado. Utilice la información del ejemplo 3 para determinar la edad aproximada de la madera. (Es precisamente este 143 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4. La cantidad de bacterias de un cultivo crece, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional al número de ellas que haya en dicho instante. Después de 3 horas se observa que se tienen 400 bacterias, y que al cabo de 10 horas hay 2000. ¿Cuál es el número inicial de bacterias? 5. El isótopo radiactivo de plomo, Pb-209, se desintegra, en un instante cualquiera, con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante, y tiene una semivida (o periodo medial) de 3.3. horas. Si inicialmente hay 1 gramo de plomo, ¿cuánto tiempo transcurrirá para que se desintegre el 90% de dicho elemento? 6. Inicialmente había 100 miligramos (mg) de una sustancia radiactiva. Después de 6 horas la masa disminuyó en 3%. Si la rapidez de desintegración es, en un instante cualquiera, proporcional a la cantidad de sustancia en dicho instante, halle la cantidad que queda después de 24 horas. 7. Determine la semivida de la sustancia radiactiva descrita en el problema 6. 8. Demuestre en forma general que la semivida de una sustancia radiactiva es 𝑡𝑡 = 𝑡𝑡= − 𝑡𝑡O 𝑙𝑙𝑙𝑙2 𝑙𝑙𝑙𝑙 𝐴𝐴O 𝐴𝐴= En donde 𝐴𝐴O = 𝐴𝐴 𝑡𝑡O y 𝐴𝐴= = 𝐴𝐴 𝑡𝑡= , 𝑡𝑡O < 𝑡𝑡= 9. Cuando un rayo vertical de luz pasa a través de una sustancia transparente, el grado con que su intensidad 𝐼𝐼 disminuye es proporcional a 𝐼𝐼 𝑡𝑡 , en donde 𝑡𝑡 representa el espesor del medio, expresado en pies. En agua de mar límpida, la intensidad a 3 pie bajo la superficie es 25% de la intensidad inicial 𝐼𝐼Q del rayo incidente. ¿Cuánta es la intensidad del rayo a 15 pie bajo la superficie? 10. Interés compuesto capitalizado continuamente significa que en un instante cualquiera la cantidad 𝑆𝑆 de dinero aumenta con una rapidez proporcional a la cantidad presente en dicho instante: 𝑑𝑑𝑆𝑆 𝑑𝑑𝑡𝑡 = 𝑟𝑟𝑆𝑆, en donde 𝑟𝑟 es la tasa de interés anual. (a) En una cuenta de ahorros se depositan $5000 a un interés compuesto, que se capitaliza continuamente, del 5 3 4 % anual. Calcule la cantidad de dinero acumulada después de 5 años. (b) ¿En cuántos años se duplicará la suma depositada inicialmente? (c) Use una calculadora para comparar el número obtenido en la parte (a) con el valor 𝑆𝑆 = 5000 1 + 0.0575 4 X B Este valor representa la cantidad que se acumularía si el interés se capitalizara trimestralmente 11. En un trozo de madera quemada se encontró que 85.5% del C-14 se había desintegrado. Utilice la información del ejemplo 3 para determinar la edad aproximada de la madera. (Es precisamente este dato el que los arqueólogos usaron para determinar la edad de las pinturas prehistóricas encontradas en una caverna de Lascaux, Francia) 12. Un termómetro que está en el interior de una habitación se lleva al exterior, en donde la temperatura del aire es de 5˛F. Después de 1 minuto el termómetro marca 55˛F y después de 5 minutos marca 30˛F. ¿Cuál es la temperatura inicial de la habitación? 13. Un termómetro se saca de una habitación, en donde la temperatura del aire es de 70˛F, al exterior, en donde la temperatura es de 10˛F. después de 1 2 minuto el termómetro marca 50 ˛F. ¿Cuánto marca el termómetro cuando 𝑡𝑡 = 1 minutos? ¿Cuánto tiempo demorará el termómetro en alcanzar 15˛F? 14. Cuando un objeto absorbe calor del medio que lo rodea, se obtiene también la formula (3). Una pequeña barra de metal, cuya temperatura inicial es de 20˛C, se deja caer un recipiente con agua hirviendo. Calcule el tiempo que dicha barra demorará en alcanzar los 90˛C si se sabe que su temperatura aumentó 2˛ en 1 segundo. ¿Cuánto demorará la barra en alcanzar los 98˛C? 15. A un circuito en serie, en el cual la inductancia es de 0.1 H y la resistencia es de 50 Ω, se le aplica una tensión de 30 V. Evalué la corriente 𝑖𝑖(𝑡𝑡) si 𝑖𝑖 0 = 0. Determine también la corriente cuando 𝑡𝑡 → ∞. 16. Resuelva la ecuación general (6) suponiendo que 𝐸𝐸 𝑡𝑡 = 𝐸𝐸Q 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑤𝑤𝑡𝑡 y 𝑖𝑖 0 = 𝑖𝑖Q. 17. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 200 Ω y la capacitancia es de 10NBF, se le aplica una tensión de 100 V. Calcule la carga 𝑞𝑞(𝑡𝑡) en el capacitor si 𝑞𝑞 0 = 0, y obtenga la corriente 𝑖𝑖(𝑡𝑡). 18. A un circuito en serie, en el cual la resistencia es de 1000 Ω y la capacitancia, de 5 X 10NcF, se le aplica una tensión de 200 V. Encuentre la carga 𝑞𝑞(𝑡𝑡) en el capacitor si 𝑖𝑖 0 = 0.4. Determine la carga y la corriente para 𝑡𝑡 = 0.005 s; y la carga, cuando 𝑡𝑡 → ∞. 19. Un tanque contiene 200 litros de un líquido en el cual se disuelven 30 gramos (g) de sal. Una salmuera que contiene 1 g de sal por litro se bombea al tanque con una intensidad de 4 litros por minuto; la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia afuera con la misma rapidez. Encuentre el número de gramos 𝐴𝐴 𝑡𝑡 de sal que hay en el tanque en un instante cualquiera. 20. Resuelva el problema 19 suponiendo que se bombea agua pura al tanque. 144 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN CAPÍTULO 4 Ecuaciones diferenciales ordinarias con el Software Máxima 145 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN UNIDAD IV 4.1. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS CON EL SOFTWARE MAXIMA Maxima es un sistema de cálculo simbólico y numérico escrito en Lisp, de libre acceso y que cuenta con una comunidad de usuarios que aportan sus experiencias a través de los diferentes foros y chats; además existe abundante información con respecto a manuales y tutoriales, que se podrían acceder en los siguientes links: • http://maxima.sourceforge.net • https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/ La notación que usa Maxima es: • (%in) para indicar la entrada (inchar o input) n-ésima, y • (%om) para indicar la salida (outchar u output) m-ésima. NOTA: Para ejecutar una sentencia en Maxima se lo realiza digitando Shift+Enter • /* comentario */ para poner comentarios. Dado que Maxima es un programa de cálculo simbólico, trabaja con variables definidas por letras, por ejemplo al digitar • float(%e) maxima entrega 2.718281828459045, • float(%e^7) maxima entrega 1096.633158428459. Funciones usuales en Máxima Sintaxis Descripción sqrt(x) raíz cuadrada de x exp(x) exponencial de x log(x) logaritmo neperiano de x sin(x), cos(x), tan(x) seno, coseno y tangente en radianes csc(x), sec(x), cot(x) cosecante, secante y cotangente en radianes asin(x), acos(x), atan(x) arcoseno, arcocoseno y arcotangente sinh(x), cosh(x), tanh(x) seno, coseno y tangente hiperbólicos 146 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN asinh(x), acosh(x), atanh(x) arcoseno, arcocoseno y arcotangente n! factorial de n entier(x) parte entera de x abs(x) valor absoluto o módulo de x random(x) devuelve un número aleatorio signum(x) signo de x max(x1,x2,...) máximo de x1,x2,... min(x1,x2,...) mínimo de x1,x2,... 4.2. DEFINICIÓN DE FUNCIONES EN MAXIMA Para definir funciones en Maxima existen varias posibilidades, presentamos la más habitual, f(x):= x^2 -5x + 6, define la función en Maxima. f(-3), evaluó la función en un valor dado, wxplot2d([f(x)], [x,-5,5]), en la figura 41 tenemos la función en el intervalo de -5 a 5, Figura 40. Gráfica de una función utilizando el software Maxima Fuente. Autores 147 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN asinh(x), acosh(x), atanh(x) arcoseno, arcocoseno y arcotangente n! factorial de n entier(x) parte entera de x abs(x) valor absoluto o módulo de x random(x) devuelve un número aleatorio signum(x) signo de x max(x1,x2,...) máximo de x1,x2,... min(x1,x2,...) mínimo de x1,x2,... 4.2. DEFINICIÓN DE FUNCIONES EN MAXIMA Para definir funciones en Maxima existen varias posibilidades, presentamos la más habitual, f(x):= x^2 -5x + 6, define la función en Maxima. f(-3), evaluó la función en un valor dado, wxplot2d([f(x)], [x,-5,5]), en la figura 41 tenemos la función en el intervalo de -5 a 5, Figura 40. Gráfica de una función utilizando el software Maxima Fuente. Autores 4.3. PRINCIPALES COMANDO DE MAXIMA En Maxima podemos aplicar algunos comandos para simplificar las diferentes operaciones entre expresiones y lo podemos apreciar en el cuadro 1. Función Sintaxis Ejemplo (“:”) para asignar un valor a una variable Variable : asignación X:53 (“:”) para asignar funciones Nombre_función(variable):=expresión f(x):=x^2-5*x+6 Borrar variables kill (variable) Kill(x) “is” intenta comprobar si una expresión es cierta is(expresión) is(x^2+1=0) is(x^2+1<0) Descomponer un valor numérico en producto de factores primos factor(número) factor(20!) Descomponer una expresión algebraica en factores factor(expresión) factor(x^5 - 1) Multiplicar los factores de una expresión algebraica expand(factores) Expand((x-2)*(x+4)) expand ((a + b)^4) Xpandir expand (expresión) expand ((a + b)^4); Simplifica expresiones racionales, expresándolas de una forma canónica ratsimp(expr) ratsimp((x^5-1)/(x^2- x+3)) Resolver ecuación algebraica solve(polinomio) solve(ecuación) solve(x^2-5*x+6) solve(2*x+1=0) Raíces de un polinomio allroots(polinomio) realroots(polinomio) allroots(x^3-x^2+x-1) realroots(x^3-x^2+x-1) Cuadro 1. Principales comandos del software Maxima Fuente. Autores 148 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4.4. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN REAL CON MAXIMA Para el tratamiento de los principales tópicos del cálculo diferencial e integral se tiene las siguientes sintaxis en el cuadro2. Cálculo de límites Sintaxis Ejemplo Observación limit(f(x),x,x0) limit(f(x),x,2) limit(f(x),x,inf) Límite en un punto Límite al infinito limit(f(x),x,x0,dirección) limit(f(x),x,2,plus) limit(f(x),x,2,minus) Límite por derecha Límite por izquierda Cuadro 2. Comandos del software para cálculo de límites Fuente. Autores 4.5.DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL CON MAXIMA (cuadro 3) Cálculo de derivadas Sintaxis Ejemplo Observación diff(f(x),x) diff(f(x),x) Deriva una función diff(f(x),x,k) diff(f(x),x,2) Deriva una función, de orden 2. df(x):=diff(x/(x-3), x) Función derivada de una variable wxplot2d([df(x)], [x,0,8]) Gráfico la función integral en un intervalo. Cuadro 3. Comandos del software para cálculo de Derivadas Fuente. Autores 149 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN 4.4. LÍMITES DE UNA FUNCIÓN REAL CON MAXIMA Para el tratamiento de los principales tópicos del cálculo diferencial e integral se tiene las siguientes sintaxis en el cuadro2. Cálculo de límites Sintaxis Ejemplo Observación limit(f(x),x,x0) limit(f(x),x,2) limit(f(x),x,inf) Límite en un punto Límite al infinito limit(f(x),x,x0,dirección) limit(f(x),x,2,plus) limit(f(x),x,2,minus) Límite por derecha Límite por izquierda Cuadro 2. Comandos del software para cálculo de límites Fuente. Autores 4.5.DERIVADA DE UNA FUNCIÓN REAL CON MAXIMA (cuadro 3) Cálculo de derivadas Sintaxis Ejemplo Observación diff(f(x),x) diff(f(x),x) Deriva una función diff(f(x),x,k) diff(f(x),x,2) Deriva una función, de orden 2. df(x):=diff(x/(x-3), x) Función derivada de una variable wxplot2d([df(x)], [x,0,8]) Gráfico la función integral en un intervalo. Cuadro 3. Comandos del software para cálculo de Derivadas Fuente. Autores 4.6. INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN REAL CON MAXIMA Para el cálculo de integrales presentamos en el cuadro 4 Sintaxis Ejemplo Observación integrate(f(x),x) integrate(x/(x-3), x) integrate (x^a*exp(-x), x, 0, inf) Integral indefinida Integral definida int(x):=integrate(x/(x-3), x) Función integral a una variable wxplot2d([int(x)], [x,2,7]) Gráfico la función integral en un intervalo. Cuadro 4. Comandos del software para cálculo de Integrales Fuente. Autores 4.7. SOLUCIONES ANALÍTICAS DE UNA EDO CON MAXIMA Maxima cuenta con varios comandos para resolver analíticamente las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales (EDOs). Se debe considerar que Maxima reconoce la variación de la función como se detalla en el cuadro 5: Diferencial Expresión en Maxima Observación 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥 ‘diff(y,x) Función incógnita, variable 𝑑𝑑=𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑥𝑥= ‘diff(y,x,2) Función incógnita, variable, orden Cuadro 5. Comandos del sogtware Maxima para resolver EDOs Fuente. Autores Los principales comando que utiliza Maxima para la resolución analítica de las ecuaciones diferenciales ordinarias son presentadas en el cuadro 6. Función Sintaxis Observación ode2 ode2(ecuación diferencial,y,x) Resuelve una ecuación diferencial de primero y segundo orden previamente definida, identificando función incógnita y variable independiente. 150 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN desolve desolve([eq1,eq2,...,eqn],[y1,y2,...,yn]) Donde: eq1, eq2, etc denota las ecuaciones diferenciales (lineales), y1,...,yn las funciones desconocidas. Resuelve sistemas de EDOs mediante la transformada de Laplace Figura 41. Comando que utiliza Maxima para la resolución de ecuaciones diferentes Fuente. Autores Para resolver ecuaciones diferenciales ordinarias utilizando Maxima, se debe considerar que existen varias formas, dependiendo de la experiencia y conocimiento que tenga el usuario sobre la herramienta informática. Por ejemplo, en primera instancia vamos a utilizar las opciones que tiene Maxima previamente definidas para facilitar su utilización. RESOLVER LAS SIGUIENTES ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. 1 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟐𝟐𝒅𝒅 = 𝟑𝟑 Ingresamos la ecuación diferencial en Maxima EJEMPLOS 151 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En el cuadro 6 tenemos la vista con la utilización de las >>pestañas<< para resolver Cuadro 6. Vista del panel de ecuaciones en el software Maxima Fuente. Autores Indicamos la línea de ingreso donde está definida la ecuación diferencial. (cuadro 7) Cuadro 7. Proceso de ingreso de una EDO en el software Maxima Fuente. Autores Se esta manera se obtiene el resultado. 2 𝒙𝒙 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 = 𝟏𝟏 − 𝒅𝒅𝟐𝟐 152 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ingreso de la ecuación diferencial, asignándole el nombre de ec2, como se muestra en el cuadro 8. Cuadro 8. Ingreso de una ecuación diferencial Fuente. Autores En el cuadro 9 tenemos la vista con las pestañas, seleccionamos Ecuaciones → Resolver EDO, e ingresamos la ecuación identificando sus variables. Cuadro 9. Vista de la utilización de las pestañas de maxima Fuente. Autores Se nos presenta la siguiente ventana. (cuadro 10) Cuadro 10. Vista resultante Fuente. Autores 153 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Ingreso de la ecuación diferencial, asignándole el nombre de ec2, como se muestra en el cuadro 8. Cuadro 8. Ingreso de una ecuación diferencial Fuente. Autores En el cuadro 9 tenemos la vista con las pestañas, seleccionamos Ecuaciones → Resolver EDO, e ingresamos la ecuación identificando sus variables. Cuadro 9. Vista de la utilización de las pestañas de maxima Fuente. Autores Se nos presenta la siguiente ventana. (cuadro 10) Cuadro 10. Vista resultante Fuente. Autores Tenemos el cuadro 11 con la solución. Cuadro 11. Solución de la EDO Fuente. Autores La solución dada por máxima es equivalente a 𝑦𝑦 = 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝑙𝑙𝑠𝑠 𝑥𝑥 + 𝐶𝐶 3 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟓𝟓𝒅𝒅 = 𝟑𝟑 Para resolver este ejercicio, asignamos la ecuación diferencial con el nombre ec1, y luego utilizamos el comando ode2 para su solución. (Cuadro 12) Cuadro 12. Ingreso de la EDO Fuente. Autores 4 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅𝟐𝟐 − 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 − 𝒅𝒅𝟐𝟐 154 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Resolución del ejercicio 4 lo mostramos en el cuadro 13. Cuadro 13. Resolución de una EDO Fuente. Autores La solución dada por máxima es equivalente a 𝑦𝑦= = 𝑥𝑥 − 1 = + 𝐶𝐶 5 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 Para resolver ecuaciones diferenciales dadas de esta forma es necesario que se identifique el término de variación; es decir, 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 así tenemos la ecuación diferencial dada en la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 La resolución en máxima está dado por: 155 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Resolución del ejercicio 4 lo mostramos en el cuadro 13. Cuadro 13. Resolución de una EDO Fuente. Autores La solución dada por máxima es equivalente a 𝑦𝑦= = 𝑥𝑥 − 1 = + 𝐶𝐶 5 𝒙𝒙 + 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝒙𝒙 − 𝒚𝒚 𝒅𝒅𝒚𝒚 = 𝟎𝟎 Para resolver ecuaciones diferenciales dadas de esta forma es necesario que se identifique el término de variación; es decir, 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑜𝑜 𝑑𝑑𝑥𝑥 𝑑𝑑𝑦𝑦 así tenemos la ecuación diferencial dada en la forma 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 La resolución en máxima está dado por: 4.8. CONDICIONES INICIALES O DE CONTORNO Para obtener las soluciones particulares de una ecuación diferencial, de deben aplicar las condiciones iniciales o condiciones de contorno del problema, los mismos que son ingresado en Maxima bajo la siguiente sintaxis. Sintaxis Comentario ic1(ecuación,x=a,y=b) resuelve problema de valores iniciales de primer orden ic2(ecuación,x=a,y=b,diff(y,x)=c) resuelve problema de valores iniciales de segundo orden bc2(ecuación,x=a,y=b,x=c,y=d) resuelve problema de contorno Resolver los siguientes problemas de valor inicial. 6 𝒙𝒙 + 𝟏𝟏 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒙𝒙 + 𝟑𝟑𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 𝒅𝒅 = 𝟎𝟎 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 Ingreso de la ecuación diferencial ordinaria asignándole con el nombre de edo1 Solución de la ecuación diferencial ordinaria utilizando el comando ode2, indicando función incógnita 𝑦𝑦, variable independiente 𝑥𝑥. EJEMPLOS 156 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Obtenido la solución general, aplicamos las condiciones iniciales del problema. 𝑦𝑦 2 = 0 para obtener la solución paricular. 7 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 Resolución del ejercicio 4 lo mostramos en el cuadro 14. Cuadro 14 . Resolución de la EDO Fuente. Autores 8 𝒅𝒅, = 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 157 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Obtenido la solución general, aplicamos las condiciones iniciales del problema. 𝑦𝑦 2 = 0 para obtener la solución paricular. 7 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 + 𝟐𝟐𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝟐𝟐𝒅𝒅𝟑𝟑 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝟎𝟎 = 𝟏𝟏 Resolución del ejercicio 4 lo mostramos en el cuadro 14. Cuadro 14 . Resolución de la EDO Fuente. Autores 8 𝒅𝒅, = 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄𝒄 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 Resolución del ejercicio 4 lo mostramos en el cuadro 15. Cuadro 15. Resolución de la EDO Fuente. Autores 4.9. CAMPOS DIRECCIONALES Y CURVAS INTEGRALES DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL. El objetivo parte de tener una idea sobre cuál sería la forma de la solución de una ecuación diferencial de primer orden dado por 𝑦𝑦, = 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦). Lo que hacemos es dibujar en cada punto del plano (𝑥𝑥, 𝑦𝑦), un segmento que nos indique la pendiente en ese punto, dada por 𝑓𝑓(𝑥𝑥, 𝑦𝑦). Entonces, teniendo las pendientes dibujadas, la curva solución de la ecuación diferencial estará representada por cada punto que sigue las direcciones marcadas, de donde se puede obtener información sobre las soluciones de una ecuación diferencial. Maxima utiliza el siguiente modulo, el mismo que debe ser cargado previamente. Sintaxis Observación plotdf(func,opciones) dibuja el campo de direcciones dado por func 9 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = − 𝒅𝒅 𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 EJEMPLOS 158 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En Maxima se grafica 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = − 1 4 , y se obtiene el campo direccional de la ecuación diferencial dada como se muestra en la figura 42. Figura 42. Campo direccional de una EDO utilizando el software Maxima Fuente. Autores Que es equivalente a tener la familia de curvas uni-paramétricas 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶. Figura 43. Familia de curvas uni- paramétricas utilizando el software Geogebra Fuente. Autores 10 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒕𝒕 𝒅𝒅 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 159 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En Maxima se grafica 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = − 1 4 , y se obtiene el campo direccional de la ecuación diferencial dada como se muestra en la figura 42. Figura 42. Campo direccional de una EDO utilizando el software Maxima Fuente. Autores Que es equivalente a tener la familia de curvas uni-paramétricas 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= = 𝐶𝐶. Figura 43. Familia de curvas uni- paramétricas utilizando el software Geogebra Fuente. Autores 10 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒆𝒆𝒕𝒕𝒕𝒕 𝒕𝒕 𝒅𝒅 𝟏𝟏 = 𝟐𝟐 Resolvamos la EDO con Maxima Ingresamos la función 𝑓𝑓 𝑥𝑥, 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 , y solicitamos que se nos presente la trayectoria que pasa por el punto 𝑃𝑃(1,2) que representa las condiciones iniciales del problema. La representación obtenida lo tenemos en la figura 44 y en la figura 45 La trayectoria que pasa por 𝑷𝑷(𝟏𝟏, 𝟐𝟐) Figura 44. Campo direccional de una EDO mediante el software Maxima Fuente. Autores Y la familia de curvas Figura 45. Familia de curvas mediante el software Máxima. Fuente. Autores 160 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EJERCICIO RESUELTO EN MATLAB Diferencial Expresión en Matlab Observación 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Dy Diferencial-Función incógnita 𝑑𝑑=𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑= D2y Diferencial-Orden-Función incógnita 11 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒕𝒕𝒂𝒂 𝒂𝒂 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 En MatLab utilizamos el comando dsolve para resolver analíticamente una ecuación diferencial ordinaria, la sintaxis está expresada en los siguientes ejemplos. Sintaxis Observación >> syms x y Definición de variables >> sol=dsolve('Dy=y+x+1','x') Resolver EDO con función incógnita 𝑑𝑑, variable independiente 𝑑𝑑. >> sol1=dsolve('Dy=y+x+1', 'y(2)=3','x') Resolver EDO con problemas de valor inicial, es decir, la curva que pasa por el punto 𝑃𝑃 2,3 . >> ezplot(sol1, [-5,5]) Graficamos la solución particular en el intervalo −5 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 5. 161 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN EJERCICIO RESUELTO EN MATLAB Diferencial Expresión en Matlab Observación 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑 Dy Diferencial-Función incógnita 𝑑𝑑=𝑑𝑑 𝑑𝑑𝑑𝑑= D2y Diferencial-Orden-Función incógnita 11 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 + 𝒅𝒅 + 𝟏𝟏 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒕𝒕𝒂𝒂 𝒂𝒂 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝟑𝟑 En MatLab utilizamos el comando dsolve para resolver analíticamente una ecuación diferencial ordinaria, la sintaxis está expresada en los siguientes ejemplos. Sintaxis Observación >> syms x y Definición de variables >> sol=dsolve('Dy=y+x+1','x') Resolver EDO con función incógnita 𝑑𝑑, variable independiente 𝑑𝑑. >> sol1=dsolve('Dy=y+x+1', 'y(2)=3','x') Resolver EDO con problemas de valor inicial, es decir, la curva que pasa por el punto 𝑃𝑃 2,3 . >> ezplot(sol1, [-5,5]) Graficamos la solución particular en el intervalo −5 ≤ 𝑑𝑑 ≤ 5. En la figura 46 presentamos la solución particular que pasa por el punto 𝑃𝑃 2,3 . Figura 46. Solución particular EDO utilizando el software Matlab Fuente. Autores 12 𝒅𝒅𝒅𝒅 𝒅𝒅𝒅𝒅 = 𝒅𝒅 − 𝒅𝒅 𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔𝒔 𝒔𝒔 𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝟐𝟐 Sintaxis Observación >> syms x y Definición de variables >> ec=dsolve('Dy=x-y','x') Resolver EDO con función incógnita 𝑦𝑦, variable independiente 𝑥𝑥. >> ec1=dsolve('Dy=x-y', 'y(2)=2','x') Resolver EDO con problemas de valor inicial, es decir, la curva que pasa por el punto 𝑃𝑃 2,2 . >> ezplot(ec1, [-5,5]) Graficamos la solución particular en el intervalo −5 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 5. 162 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En la figura 47 presentamos la solución particular que pasa por el punto 𝑃𝑃 2,2 . Figura 47. Solución particular que pasa por el punto P(2,2). Fuente. Autores EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales y determinar sus campos direccionales. 1) 2𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦, + 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0 5) 𝑦𝑦, + 2𝑦𝑦 = 𝑒𝑒N1; 𝑦𝑦 3 = 0 2) 𝑦𝑦, − 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 4 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠=(𝑥𝑥) 6) 2𝑥𝑥= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦=; 𝑦𝑦 1 = −2 3) 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 7) 3𝑦𝑦, − 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 0 = 0 4) 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 8) 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦, + 𝑥𝑥 = 5; 𝑦𝑦 −2 = 4 163 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN En la figura 47 presentamos la solución particular que pasa por el punto 𝑃𝑃 2,2 . Figura 47. Solución particular que pasa por el punto P(2,2). Fuente. Autores EJERCICIOS Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales y determinar sus campos direccionales. 1) 2𝑥𝑥 + 3 𝑦𝑦, + 𝑥𝑥𝑦𝑦 = 0 5) 𝑦𝑦, + 2𝑦𝑦 = 𝑒𝑒N1; 𝑦𝑦 3 = 0 2) 𝑦𝑦, − 𝑡𝑡𝑡𝑡 𝑥𝑥 𝑦𝑦 = 4 𝑠𝑠𝑒𝑒𝑠𝑠=(𝑥𝑥) 6) 2𝑥𝑥= 𝑑𝑑𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑥𝑥 = 3𝑥𝑥𝑦𝑦 + 𝑦𝑦=; 𝑦𝑦 1 = −2 3) 𝑥𝑥= + 𝑦𝑦= 𝑑𝑑𝑥𝑥 + 𝑥𝑥𝑦𝑦 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 7) 3𝑦𝑦, − 𝑦𝑦 = 𝑥𝑥; 𝑦𝑦 0 = 0 4) 𝑥𝑥 + 𝑦𝑦 + 1 𝑑𝑑𝑥𝑥 − 𝑥𝑥 − 𝑦𝑦 + 1 𝑑𝑑𝑦𝑦 = 0 8) 1 𝑥𝑥 𝑦𝑦, + 𝑥𝑥 = 5; 𝑦𝑦 −2 = 4 TRABAJOS CITADOS Bronson R., C. G. (2008). Ecuaciones Diferenciales. México: McGraw-Hill Interamericana. C. Henry E., P. D. (2001). Ecuaciones Diferenciales. México: Pearson Education. Cornejo Serrano, M. d. (2012). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones (1 ed.). España: Editorial Reverté. Dennis, Z. (2009). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Chicago: Cengage Learming. Dullius, M. M. ( 2011). Enseñanza y aprendizaje en ecuaciones diferenciales con abordaje gráfico, numérico y analítico. . Universidad de Burgos. Edwards, C. H. (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de la frontera. . Pearson Educación. Frank, A. (1991). Ecuaciones Diferenciales. México: McGraw-Hill/Interamericana. G., D. G. ((2015).). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores a la frontera. Chicago: CENGAGE Learning. K. Kent, E. R. (2005). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. México: Pearson Education. RAMOS, E. E. ( 2004). Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. 6ta. Edición. Perú.: Servicios Gráficos JJ. Zill Dennis, C. M. (2006). Ecuaciones Diferenciales. México: McGraw-Hill Interamericana. 164 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Bibliografía Bronson R., C. G. (2008). Ecuaciones Diferenciales. México: McGraw-Hill Interamericana. C. Henry E., P. D. (2001). Ecuaciones Diferenciales. México: Pearson Education. Cornejo Serrano, M. d. (2012). Métodos de solución de ecuaciones diferenciales y aplicaciones (1 ed.). España: Editorial Reverté. Dennis, Z. (2009). Ecuaciones Diferenciales con aplicaciones de modelado. Chicago: Cengage Learming. Dullius, M. M. ( 2011). Enseñanza y aprendizaje en ecuaciones diferenciales con abordaje gráfico, numérico y analítico. . Universidad de Burgos. Edwards, C. H. (2009). Ecuaciones diferenciales y problemas con valores de la frontera. . Pearson Educación. Frank, A. (1991). Ecuaciones Diferenciales. México: McGraw-Hill/Interamericana. G., D. G. ((2015).). Ecuaciones Diferenciales con problemas con valores a la frontera. Chicago: CENGAGE Learning. K. Kent, E. R. (2005). Ecuaciones Diferenciales y problemas con valores en la frontera. México: Pearson Education. RAMOS, E. E. ( 2004). Ecuaciones Diferenciales y sus Aplicaciones. 6ta. Edición. Perú.: Servicios Gráficos JJ. Zill Dennis, C. M. (2006). Ecuaciones Diferenciales. México: McGraw-Hill Interamericana. 165 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN Páginas web (2019, January 22). Maxima, a Computer Algebra System.. Mensaje publicado en http:// http:// maxima.sourceforge.net/ (2019, January 22). https://wxmaxima-developers.github.io/wxmaxima/ 166 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER ORDEN