UNIVERSIDAD DE LAS FUERZAS ARMADAS-ESPE
DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXACTAS
SIMULACIÓN Y DESCRIPCIÓN MATEMÁTICA DE
PATRONES DERIVADOS DE SISTEMAS DE
RADIACIÓN TIPO DIPOLOS PARA SEÑALES  DE TDT
ISDB-T INTERNACIONAL
Julio Galárraga Calero
Noviembre de 2021
INTRODUCCIÓN
• Mejorar el modelamiento de los patrones de radiación.
• Herramienta de validación de los patrones de radiación y sus
parámetros de arreglos de sistemas radiantes con antenas
elementales tipo dipolo.
Julio Galárraga Calero
INTRODUCCIÓN
• Se hizo uso de la modelación ampliamente aceptada realizada
por Balanis en su texto clásico de análisis de antenas, a partir
del que se hizo uso del Método de los Momentos para
implementar un script para la obtención y simulación de los
patrones de radiación y sus parámetros fundamentales.
Julio Galárraga Calero
INTRODUCCIÓN
• Validación con patrones dados por fabricantes, patrones
presentados en otras investigaciones y patrones obtenidos con
software libre de análisis y diseño de antenas, los resultados
obtenidos llevan a una importante discusión final del trabajo.
Julio Galárraga Calero
OBJETIVO GENERAL
Simular, analizar y contrastar matemáticamente diagramas y
patrones derivados de sistemas radiantes tipo dipolos para la
transmisión de señales TDT.
Julio Galárraga Calero
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Simular matemáticamente los patrones derivados de sistemas
radiantes tipo dipolos más usados para TDT.
• Desarrollar algoritmos para cálculo y graficación de los
patrones derivados de los sistemas radiantes tipo dipolos más
usados para TDT.
Julio Galárraga Calero
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
• Analizar y/o contrastar los resultados provistos por los
algoritmos y la simulación matemática.
• Entregar una herramienta matemática útil para los estudiantes
de carreras en electrónica y telecomunicaciones, que
contribuya a consolidar el enlace entre Matemática e
Ingeniería Electrónica.
Julio Galárraga Calero
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Fig. 1: El proceso de modelación matemática básico. Tomado de:[3], pág. 4
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Fig. 2: Clasificación de los métodos computacionales para simulación
electromagnética. Tomado de [22], pág.217
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Fig. 3: Comparación de métodos numéricos para simulación
electromagnética. Tomado de [22], pág.231
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Fig. 4: Parámetros y disposición de elementos en sistema radiante y sistema
de coordenadas. Tomado de [2], pág.443
Para la radiación de un elemento.
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un elemento.
(5)
De donde: (2)
(1)
(3)
(4)
(6)
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Fig. 5: Segmentación del dipolo y sus corrientes equivalentes. Tomado de
[2], pág.445
Para la radiación de un elemento.
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un elemento.
(5) se reduce a:
Donde, se puede definir como función de Green:
Con lo que:
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un elemento.
Usando (2), se tiene:
(15) se le conoce como la ecuación integral de Pocklington, en la que usando
(2) y la función de Green, se llega a:
Intercambiando integración con diferenciación, se puede escribir esta última
expresión como:
(15)
(16)
(13)
(14)
LA MODELACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un elemento.
Aplicando las condiciones de borde en última expresión, se tiene:
Expresión que al substituir al primer término de la ecuación (16), la reduce a:
Ecuación que al integrar por partes, queda:
(20)
Anterior ecuación en la que integrando su primer término por partes, se reduce a:
(17)
(18)
(19)
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un elemento.
Se considera que para alambres de pequeño diámetro, la corriente en cada
elemento puede ser aproximada por una serie finita. Así:
Dado que el coseno es una función par, esta última ecuación puede ser reducida a:
Tomando la primera y segunda derivada de la expresión (21) y substituyéndola
en la ecuación (20), se reduce a:
(21)
(23)
(22)
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un elemento.
La última ecuación es válida para cada elemento.
Sobre cada elemento, con excepción de un elemento activo, el
emparejamiento es hecho al centro del alambre, y se requiere que Etz de la
ecuación (23), se desvanezca en cada punto de emparejamiento de cada
segmento, esto es: Etz (z = zi) = 0, como se muestra en la Figura 6(b). Sobre
el elemento activo el emparejamiento es hecho sobre la superficie del
alambre, y esto requiere que Etz de la ecuación (23), se desvanezca en M - 1
puntos, de sus m modos, ésto excluye al segmento de alimentación del
elemento, tal como se muestra en la Figura 6(c). Ésto genera M-1 ecuaciones.
La M-ésima ecuación del elemento activo es generada por la restricción que la
corriente normalizada para los M modos en el punto de alimentación (z’=0)
del elemento activo es igual a la unidad, o sea:
De esta forma, se aplica el Método de los Momentos para solucionar la
ecuación integral (23) , cada alambre es subdivido en M segmentos.
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Fig. 6: Consideraciones para Método de los Momentos en Yagi-Uda. Tomado
de [2], pág.584
Para la radiación de un arreglo Yagi-Uda.
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un arreglo Yagi-Uda.
Una vez que la distribución de corriente es encontrada, el campo eléctrico
lejano total puede ser obtenido sumando las contribuciones de cada elemento
de corriente.
El campo eléctrico lejano total generado por los M modos de los n elementos
orientados paralelos al eje z vendrá dado por:
Considerando que para cada alambre, la corriente es representada por la expresión
(21). Con lo que, la última integral en la expresión (25) puede ser escrita como:
(24)
(25)
(26)
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un arreglo Yagi-Uda.
Dado que el coseno es una función par, y usando una identidad trigonométrica,
se llega a:
Donde:
Usando:
La anterior expresión se reduce a:
± = (2 − 1) ± 2
Así, el campo total, que venía dado por las expresiones (24) y (25), puede ser
escrito como:
(27)
(28)
(29)
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un arreglo Yagi-Uda.
Donde:
(30)
(31)
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un arreglo Log-Periódico.
Para la modelación de su patrón de radiación se generalizó el desarrollo
realizado para las antenas Yagi - Uda, en base de las siguientes
consideraciones:
1. Las expresiones para la Yagi - Uda fueron obtenidos considerando una antena
con un elemento activo, por lo que para poder hacer uso de éstas expresiones y
desarrollos en otros arreglos lineales de dipolos, se calcularán los campos
obtenidos de manera independiente por cada elemento activo, para el que
elementos frente a su dirección de radiación se considerarán como elementos
directores y tras su dirección de radiación serán elementos reflectores.
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un arreglo Log-Periódico.
2. Se obtendrá el campo total radiado esperado como una sumatoria de los
distintos componentes de campos generados por cada elemento activo considerado
de manera independiente, de la forma previamente mencionada. Para hacer esta
sumatoria vectorial de los campos independientes, se deberá considerar tanto la
diferencia de fase debido a la alimentación a cada elemento activo, como la
variación de fase debido a la diversidad espacial de los elementos del arreglo, tal
como se muestra en la Figura 7, en la que viene dado para elementos isotrópicos y
separados una misma distancia, por lo que de manera general, para un arreglo de
antenas sin elementos idénticos y separados distintas distancias, dado que el
campo eléctrico es una magnitud vectorial a la que es posible aplicar el teorema de
superposición, se tendría:
(32)
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Fig. 7: Representación fasorial de campos lejanos debido a un arreglo de N-
elementos isotrópicos. Tomado de [2], pág.293
Para la radiación de arreglos lineales.
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un arreglo Log-Periódico.
Expresión última en la que, considerando las diferencias de fase mencionadas, la
expresión para la magnitud de los campos eléctricos que se obtienen punto a punto
vendrá dada por:
(33)
Parámetros que se los obtienen de la geometría del arreglo y suponiendo que la
entrada al primer elemento activo es igual a la unidad, correspondiente al valor
máximo de la señal de entrada cosenoidal, por lo que la alimentación del resto de
los elementos activos tendrán un valor ideal correspondiente al que se tendría con
el desfase respectivo en la señal cosenoidal, dado por la distancia al primer
elemento activo, de esta manera, se tendría que usar:
y (34)
LA SIMULACIÓN
Julio Galárraga Calero
Para la radiación de un arreglo Log-Periódico.
Con lo que la expresión (32) quedaría:
(35)
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Criterios de comparación para los parámetros de los diagramas de radiación:
Tabla 1: Criterios de valoración para definir la Relación de Aspecto de los
diagramas de radiación obtenidos.
Tabla 2: Valoraciones de la Relación de Aspecto de los diagramas de radiación
obtenidos.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Criterios de comparación para los parámetros de los diagramas de radiación:
Tabla 3: Criterios de valoración para definir los diagramas de radiación
obtenidos.
Tabla 4: Valoraciones de los patrones de radiación obtenidos.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
De las antenas dipolo:
Del dipolo elemental: h ≤ λ/50
Fig. 8: Patrones de Radiación del dipolo elemental: h ≤ λ/50
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Tabla 5: Comparación de las características de los Patrones de Radiación del
dipolo elemental:  h ≤ λ/50.
De las antenas dipolo:
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
De las antenas dipolo:
Del dipolo de 3/2 λ
Fig. 9: Patrones de Radiación del dipolo de 3/2 λ
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Tabla 6: Comparación de las características de los Patrones de Radiación del
dipolo de 3/2 λ.
De las antenas dipolo:
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
De los arreglos de antenas dipolo:
Del arreglo tipo Y agi – Uda de 6 elementos
Fig. 10: Patrones de Radiación del arreglo tipo Y agi – Uda de 6 elementos
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Tabla 7: Comparación de las características de los Patrones de Radiación del
arreglo tipo Y agi – Uda de 6 elementos.
De los arreglos de antenas dipolo:
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
De los arreglos de antenas dipolo:
Del arreglo tipo Y agi – Uda 600265 de 5 elementos
Fig. 10: Patrones de Radiación del arreglo tipo Y agi – Uda 600265 de 5
elementos.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Tabla 7: Comparación de las características de los Patrones de Radiación del
arreglo tipo Y agi – Uda 600265 de 5 elementos.
De los arreglos de antenas dipolo:
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
De los arreglos de antenas dipolo:
Del arreglo tipo Log - Periódico 75010242 de 5 elementos
Fig. 11: Patrones de Radiación del arreglo tipo Log - Periódico 75010242 de 5
elementos
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Tabla 8: Comparación de las características de los Patrones de Radiación del
arreglo tipo Log - Periódico 75010242 de 5 elementos.
De los arreglos de antenas dipolo:
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
De los arreglos de antenas dipolo:
Del arreglo tipo Log - Periódico D9108A de 13 elementos
Fig. 12: Patrones de Radiación del arreglo tipo Log - Periódico D9108A de 13
elementos.
COMPARACIÓN DE RESULTADOS OBTENIDOS
Julio Galárraga Calero
Tabla 9: Comparación de las características de los Patrones de Radiación del
arreglo tipo Log - Periódico D9108A de 13 elementos.
De los arreglos de antenas dipolo:
CONCLUSIONES
Julio Galárraga Calero
1. El programa desarrollado tiene validez tanto para antenas simples, desde
dipolos elementales hasta dipolos cortos, como para los arreglos de dipolos
lineales conocidos como Y agi - Uda, más no así para los arreglos de dipolos
lineales conocidos como Log - Periódicos.
CONCLUSIONES
Julio Galárraga Calero
2. La modelación de sistemas radiantes con varios elementos activos con base en la
integral de Pocklington presenta problemas para su utilización puesto que no se
logra integrar al modelo la influencia en los campos generados por un elemento
activo sobre otro elemento, también activo, pese a que se hace uso del teorema de
superposición, se verifica que la influencia que se presenta entre los elementos
activos entre sí no es la que se espera lograr, según los datos dados de manera
experimental en los datasheets de este tipo de arreglos. Por lo tanto, no está
integrado en el modelo lo que vendría a ser la inductancia mutua entre los
elementos activos de un sistema radiante.
CONCLUSIONES
Julio Galárraga Calero
4. El modelo desarrollado en la investigación no incluye los diferentes radios de los
distintos elementos que son usados, siendo un parámetro que permite obtener
resultados más precisos de los sistemas radiantes en estudio, situación que se la
comprobó al hacer uso del MMANA - GAL.
3. Al hacer la presente investigación se constató la importancia de la modelación y
la simulación para los procesos de enseñanza-aprendizaje en la ingeniería, en
particular de los ingenieros en electrónica y telecomunicaciones.
RECOMENDACIONES
Julio Galárraga Calero
1. Al correr los programas desarrollados en esta investigación, considerar que el
mínimo número de modos que se deben usar es de 3 para que tenga sentido la
simulación, mientras que su máximo vendrá limitado por la capacidad de cómputo
del equipo en el que se los utilice y de la precisión que se requiera de su patrón de
radiación, obteniéndose obviamente para una mayor cantidad de modos, una
mejor simulación.
2. Se hace uso de cantidades proporcionales de longitudes de onda para la
definición de las longitudes de los distintos elementos, puesto que el método de
modelación utilizado es conveniente hacerlo para estructuras cuyas dimensiones
vengan dadas para longitudes l ≤ 20λ .
PERSPECTIVA DE TRABAJOS FUTUROS
Julio Galárraga Calero
1. Es motivo de otra investigación como la presente, trabajar con los fundamentos
de la metodología NEC para la determinación de las ecuaciones que lo sustenten y
el proceso que permita la modelación y simulación bajo esta otra metodología que
también tiene resultados comprobados y aceptados por investigadores en esta área
de las telecomunicaciones; se podría hacer uso del software libre 4NEC2 para
establecer las comparaciones que sean del caso y que permitan demostrar la
validez de los programas que se lleguen a desarrollar.
PERSPECTIVA DE TRABAJOS FUTUROS
Julio Galárraga Calero
2. La presente investigación se trabajó con arreglos lineales de dipolos, en la que
sus elementos estaban dispuestos a lo largo del eje z, y su modelación y simulación
fueron hechas bajo éstas consideraciones; sería importante hacer una abstracción
adicional para poder incluir en el modelo y su simulación arreglos con mayor
diversidad espacial, así como poder extender la generación de los patrones de
radiación no a un plano en particular de interés, sino mostrarlo en 3D.
PERSPECTIVA DE TRABAJOS FUTUROS
Julio Galárraga Calero
3. Al requerirse patrones de radiación de estructuras más complejas o de una gran
dimensión con respecto de la longitud de onda de la radiación necesaria, se deben
explorar otros métodos de modelación como los mencionados en la Figura 3.
4. Es posible depurar el programa con la inclusión de los distintos radios de los
distintos elementos con que se dispone en un sistema radiante. Ésto permitirá que
los resultados esperados se ajusten aún más al patrón de radiación que se
presentará en una situación real.
Julio Galárraga Calero